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Ein Satz über mittlere Konvergenz. (German) JFM 56.0224.02
“Gegeben sei eine unendliche Menge $\frak M$ von (verschiedenen) Funktionen $u(x,y)$, die alle im Innern eines Bereiches $G$ der $(x,y)$-Ebene stetig und stetig nach $x$ und $y$ differenzierbar seien; der Rand von $G$ bestehe aus endlich vielen geschlossenen Kurven mit stückweise stetiger Tangente und besitze keine Spitzen. Für alle Funktionen von $\frak M$ mögen die Integrale $$ \iint\limits_{G} u^2\,dx\,dy,\quad \iint\limits_G u_x^2\,dx\,dy,\quad \iint\limits_Gu_y^2\,dx\,dy $$ existieren und es möge mit demselben festen $C$ für alle Funktionen der Menge $$ \iint\limits_G u^2\,dx\,dy < C,\quad \iint\limits_G u_x^2\,dx\,dy < C,\quad \iint\limits_G u_y^2\,dx\,dy < C $$ sein. Dann läßt sich aus der vorgelegten Menge eine unendliche Folge $u_n(x,y)$ ($n=1,2,\ldots$) herausgreifen, die im Mittel konvergiert, d. h. für die $$ \lim_{\Sb n\to \infty\\ m\to \infty \endSb}\iint\limits_G (u_n^2-u_m^2)\,dx\,dy= 0 $$ ist. Den Beweis dieses Satzes kann man mit Hilfe der Vollständigkeitsrelation der trigonometrischen Funktionen erbringen, indem man ihn zunächst für ein beliebiges achsenparalleles Quadrat führt und dann den zugrundegelegten Bereich $G$ durch einen aus endlich vielen Quadraten bestehenden Bereich approximiert. Im folgenden teile ich jedoch einen Beweis ohne das genannte Hilfsmittel mit, der nur elementare Integralabschätzungen benutzt.”
Reviewer: Feigl, G.; Prof. (Breslau)

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