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Über die Verteilung der Zahlen, die zu den $n$ ersten Primzahlen teilerfremd sind. (German) JFM 57.0186.02
Commentationes Helsingfors 5, Nr. 25, 37 S (1931).
Ist $p_n$ die $n$-te Primzahl, $$ P_n = \prod_{\nu=1}^n p_\nu, $$ bezeichnet ferner $q_\nu^{(n)}$ die $\nu$-te zu $P_n$ teilerfremde Zahl, so gilt ({\it A. Brauer, H. Zeitz}; 1930; F. d. M. $56_{\text{I}}$, 156): Für jedes $\varepsilon > 0$ läßt sich eine Zahl $n_0 = n_0(\varepsilon)$ so angeben, daß es für alle $n > n_0$ stets $(4 - \varepsilon) p_n$ aufeinanderfolgende ganze Zahlen gibt, die zu $P_n$ sämtlich nicht teilerfremd sind, daß also $$ \text{Max } (q_{\nu+1}^{(n)} - q_\nu^{(n)}) > (4 - \varepsilon) p_n \tag 1 $$ ist. Hieraus folgt, daß es unendlich viele Primzahlen $p_m$ gibt, für die $$ p_{m+1} - p_m > (4 - \varepsilon) \, \log\, p_m \tag 2 $$ ist. Diese beiden Resultate werden vom Verf. wesentlich verschärft, indem er zeigt: $$ 2^{n-1} \prod_{\nu=1}^n \frac{p_\nu}{p_\nu - 1} \geqq \text{ Max } (q_{\nu+1}^{(n)} - q_\nu^{(n)}) > (2-\varepsilon) e^C \frac{\log \log p_n}{\log \log \log p_n}\, p_n, \tag 3 $$ wo $C$ die {\it Euler}sche Konstante ist. Aus (3) folgt, daß es unendlich viele Primzahlen $p_m$ gibt, für die $$ p_{m+1} - p_m > (2-\varepsilon) e^C \frac{\log \log \log p_m}{\log \log \log \log p_m}\, \log p_m $$ ist. Ferner wird die analoge Frage behandelt, wenn die $q_\nu^{(n)}$ nicht die zu den ersten $n$ Primzahlen teilerfremden Zahlen, sondern die zu irgend welchen $n$ Primzahlen $p_1^\prime, p_2^\prime, \dots, p_n^\prime$ teilerfremden Zahlen bedeuten. (III 8.)
Reviewer: Brauer, A.; Dr. (Berlin)