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Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. (German) JFM 57.0725.01

Zwei Abbildungen eines Komplexes \(A\) auf einen Komplex \(B\) heißen zur selben Klasse gehörig, wenn man sie stetig ineinander überführen kann. Eine Abbildung von \(A\) auf \(B\) heißt topologisch wesentlich, wenn bei jeder Abbildung der durch sie bestimmten Klasse die Bildmenge aus allen Punkten von \(B\) besteht. Der Hauptsatz der vorliegenden Arbeit lautet: Die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre \(S^3\) auf die zweidimensionale Sphäre \(S^2\) bilden unendlich viele Klassen. Dieser Satz enthält den folgenden: Die \(S^3\) läßt sich topologisch wesentlich auf die \(S^2\) abbilden. Der Hauptsatz folgt aus dem Satze, daß man jeder Abbildung f der \(S^3\) auf die \(S^2\) eine ganze Zahl \(\gamma(f)\) mit gewissen Eigenschaften zuordnen kann; \(\gamma(f)\) läßt sich geometrisch deuten als die Verschlingungszahl der Originalzyklen zweier beliebiger Punkte \(x, y\) von \(S^2\). Die obigen Sätze werden für gewisse Abbildungen beliebiger dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten auf die \(S^2\) verallgemeinert: Jede (geschlossene orientierbare) Mannigfaltigkeit \(M^3\) gestattet Abbildungen auf die \(S^2\), die zugleich algebraisch unwesentlich und topologisch wesentlich sind; ferner: Die algebraisch unwesentlichen Abbildungen einer beliebigen \(M^3\) auf die \(S^2\) bilden unendlich viele Klassen. Dabei heißt eine Abbildung \(f\) eines Komplexes \(A\) auf die \(n\)-dimensionale Sphäre \(S^n\) algebraisch wesentlich, wenn es eine ganze Zahl \(m > 1\) und in \(A\) einen \(n\)-dimensionalen Zyklus \(Z_m^n\) mod \(m\) gibt, dessen Bild \[ f(Z_m^n) \not\equiv 0 \bmod m \] ist. Die Begriffe der algebraischen und topologischen Wesentlichkeit und der Zusammenhang zwischen ihnen werden in einem Anhang noch genauer behandelt.

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References:

[1] L. E. J. Brouwer, Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen71 (1911), S. 97-115.? H. Hopf, Abbildungsklassenn-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen96 (1926), S. 209-224. · JFM 42.0417.01
[2] Zyklus=geschlossener, d. h. unberandeter Komplex.
[3] L. E. J. Brouwer, On Looping Coefficients, Proc. Acad. Amsterdam15 (1912), S. 113-122.
[4] Zur Einführung in die kombinatorische oder algebraische Topologie sei empfohlen: J. W. Alexander, Combinatorial Analysis Situs, Transact. Amer. Math. Soc.28 (1926), S. 301-329.
[5] Über wesentliche und unwesentliche Abbildungen von Komplexen, Moskauer Mathematische Sammlung (z. Z. im Druck). · JFM 56.0501.04
[6] Bezüglich der Umkehrungsabbildung ? vergleiche man auch den § 3 meiner Arbeit: ?Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten?, Journal f. d. reine u. angew. Math. (Crelle)163 (1930), S. 71-88.
[7] Man verifiziert diese Behauptung erst für ein einzelnes Simplex und beweist sie dann allgemein durch Addition mehrerer Simplexe.
[8] Siehe Nr. 5 und 6 der unter 4) zitierten Arbeit von Alexander.
[9] Dieser Beweis ist dem Beweis der topologischen Invarianz des Abbildungsgrades analog: L. E. J. Brouwer, Über Jordansche Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen71, (1911), S. 320-327. · JFM 42.0418.03
[10] Diese Betrachtung, und somit der Beweis von IIc, ist die einzige Stelle in dieser Arbeit, an der benutzt wird, daßS 2 die Kugel und nicht eine beliebige orientierbare Fläche ist.
[11] Das System dieser Großkreise, die die Originalmengen der Punkte vonS 2 bilden, ist eine Cliffordsche Parallelenkongruenz; hierzu vgl. man F. Klein, Vorlesungen über Nichteuklidische Geometrie (Berlin 1928), S. 234; daß dort anstatt derS 3 der elliptische Raum betrachtet wird, macht keinen wesentlichen Unterschied.
[12] Einen Beweis dieser Tatsache (die übrigens ein Spezialfall von Satz IV ist), findet man in meiner unter 1). zitierten Arbeit. · JFM 42.0417.01
[13] Eine Darstellung der einfachsten topologischen Eigenschaften vonA 4 findet man im ?Anhang II? der unter 8), zitierten Arbeit von van der Waerden.
[14] § 5 der unter 6) ?Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten?, Journal f. d. reine u. angew. Math. (Crelle)163 (1930), S. 71-88. zitierten Arbeit. · JFM 56.0501.03
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