zbMATH — the first resource for mathematics

Examples
Geometry Search for the term Geometry in any field. Queries are case-independent.
Funct* Wildcard queries are specified by * (e.g. functions, functorial, etc.). Otherwise the search is exact.
"Topological group" Phrases (multi-words) should be set in "straight quotation marks".
au: Bourbaki & ti: Algebra Search for author and title. The and-operator & is default and can be omitted.
Chebyshev | Tschebyscheff The or-operator | allows to search for Chebyshev or Tschebyscheff.
"Quasi* map*" py: 1989 The resulting documents have publication year 1989.
so: Eur* J* Mat* Soc* cc: 14 Search for publications in a particular source with a Mathematics Subject Classification code (cc) in 14.
"Partial diff* eq*" ! elliptic The not-operator ! eliminates all results containing the word elliptic.
dt: b & au: Hilbert The document type is set to books; alternatively: j for journal articles, a for book articles.
py: 2000-2015 cc: (94A | 11T) Number ranges are accepted. Terms can be grouped within (parentheses).
la: chinese Find documents in a given language. ISO 639-1 language codes can also be used.

Operators
a & b logic and
a | b logic or
!ab logic not
abc* right wildcard
"ab c" phrase
(ab c) parentheses
Fields
any anywhere an internal document identifier
au author, editor ai internal author identifier
ti title la language
so source ab review, abstract
py publication year rv reviewer
cc MSC code ut uncontrolled term
dt document type (j: journal article; b: book; a: book article)
Sur la convergence uniforme des séries de fonctions analytiques. (Russian. French summary) JFM 58.0302.03
Verf. betrachtet eine Reihe $\sum \limits _{n=0}^{\infty } f_n (z)$, wobei die $f_n (z)$ bei $z=0$ reguläre analytische Funktionen sind: $$f_n (z) = \sum _{m=0}^{\infty } a_n^{(m)} z^m.$$ Er stellt sich die Aufgabe, den die Stelle $z = 0$ enthaltenden Bereich der gleichmäß igen Konvergenz der Reihe $\sum \limits _{n=0}^{\infty } f_n (z)$ zu bestimmen. Es wird zunächst folgendest Theorem gewonnen: Für gleichmäß ige Konvergenz der Reihe $\sum \limits _{n=0}^{\infty } f_n (z)$ im Einheitskreise ist notwendig und hinreichend, da{ß } alle Reihen $\sum \limits _{n=0}^{\infty } a_n^{(m)}$ $(m = 0,1,2, \dots )$ konvergieren, und da{ß } zu jedem $\Theta $ $(0 < \Theta < 1)$ ein $C(\Theta )$ derart existiert, da{ß } bei beliebigem $m$ und $n$ die Ungleichung $\Theta ^m |S_n^{(m)}| < C (\Theta )$ erfüllt ist, wobei $S_n^{(m)} = \sum \limits _{k=0}^{n} a_k^{(m)}$. Zum Beweise dieses Theorems stellt Verf. die folgenden Sätze auf: 1. Wenn alle Reihen $\sum \limits _{n=0}^{\infty } a_n^{(m)}$ $(m=0,1,2, \dots )$ konvergieren, und wenn ein $C$ existiert, welches bei allen $n$, $m$ der Ungleichung $|S_n^{(m)}| < C$ genügt, so konvergiert die Reihe $\sum \limits _{n=0}^{\infty } f_n (z)$ gleichmäß ig im Einheitskreis. 2. Alle Reihen $\sum \limits _{n=0}^{\infty } a_n^{(m)}$ $(m=0,1,2, \dots )$ mögen konvergieren und es möge bei festem $r$ $C$ so existieren, da{ß } für alle $m,n$ $r^m |S_n^{(m)}| <C$; die Reihe $\sum \limits _{n=0}^{\infty } f_n (z)$ konvergiert dann gleichmäß ig im Kreise vom Radius $r$ um den Nullpunkt. Als Folgerung dieser Sätze gewinnt Verf. das Resultat: Für gleichmäß ige Konvergenz der Reihe $\sum \limits _{n=0}^{\infty } f_n (z)$ im Kreise $|z| < r$ ist notwendig und hinreichend, da{ß } alle Reihen $\sum \limits _{n=0}^{\infty } a_n^{(m)}$ $(m=0,1,2, \dots )$ konvergieren, und da{ß } zu jedem $\Theta $ $(0< \Theta < 1)$ ein C existiert, so da{ß } für alle $m,n$ die Ungleichung $r^m \Theta ^m |S_n^{(m)}| < C(\Theta )$ erfüllt ist. Verf. betrachtet sodann die Menge $\frak M$ aller Häufungspunkte der Zahlen $A_n^{(m)} = \root m \of {|S_n^{(m)}|}$, in deren Nähe unendlich viele dieser Zahlen mit verschiedenem $m$ liegen. Diese Menge ist nicht leer; sie ist abgeschlossen. Verf. macht Eigenschaften der oberen Grenze $M$ dieser Menge $\frak M$ namhaft und berechnet $M$. Es ergibt sich als eine zu der oben genannten Bedingung $r^m \Theta ^m |S_n^{(m)}| < C (\Theta )$ äquivalente Forderung die folgende: $r^m \Theta ^m |S_{n(m)}^m| \to 0$ mit $m \to 0$ bei beliebigem $n(m)$ und bei jedem $\Theta $ $(0 < \Theta < 1)$. Verf. stellt nunmehr forlgenden Satz auf: Der Radius des größ ten Kreises mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt, in welchem die Reihe $\sum \limits _{n=0}^{\infty } f_n (z)$ gleichmäß ig konvergiert, ergibt sich nach der Formel: $$\frac {1}{r} = M = \lim _{m \to \infty } \root m \of { \overline {\text{fin}_n} |S_n^{(m)}|} \,.$$ wobei $\overline {\text{fin}_n}K_n$ die obere Grenze aller $K_n$ bedeutet. Diese Formel gestattet nach einem der Methode der analytischen Fortsetzung analog gebildeten Verfahren, den vollständigen, den Punkt $z=0$ enthaltenden Konvergenzbereich für die Reihe $\sum \limits _{n=0}^{\infty } f_n (z)$ zu bestimmen. Nach Bemerkungen über Aufsummierung nach Zeilen: $\sum \limits _{n=0}^{\infty } \left ( \sum \limits _{m=0}^{\infty } A_n^{(m)} \right )$ und nach Spalten: $\sum \limits _{m=0}^{\infty } \left ( \sum \limits _{n=0}^{\infty } A_n^{(m)} \right )$ und nach Angabe eines Theorems betreffend den analytischen Charakter der Summe der Reihe $\sum \limits _{n=0}^{\infty } f_n (z)$, zeigt Verf. eine Anwendung der erhaltenen Resultate auf die Theorie der linearen Gleichungen mit unendlich vieln Unbekannten. (IV 7.)
Reviewer: Graeser, E.; Dr. (Göttingen)