Paley, R. E. A. C. On orthogonal matrices. (English) JFM 59.0114.04 Journal of Math. Massachusetts 12, 311-320 (1933). Die Frage, die Verf. behandelt, ist die nach der Existenz quadratischen orthogonaler Matrizen \((M\cdot M'=nE')\), deren Elemente nur die Werte \(\pm 1\) besitzen. Bisher war die Existenz solcher Matrizen nur für bestimmte Grade \(n\) von Sylvester nachgewiesen worden; aber auch Verf. gelingt es nicht, das Problem allgemein zu lösen; sondern er muß sich darauf beschränken, weitere Fälle, die allerdings einen bedeutenden Fortschritt in der Frage darstellen, zu behandeln.Bezeichnet man eine Matrix der geschilderten Art als \(U\)-Matrix, so folgt aus der Existenz von \(U\)-Matrix, so folgt aus der Existenz von \(U\)-Matrizen für die Grade \(m_1\) und \(m_2\) sofort die Existenz einer \(U\)-Matrix für den Grad \(m_1 m_2\); denn mit \(U_1, U_2\) ist auch das Kroneckersche Produkt \(U_1\times U_2\) eine \(U\)-Matrix.Auf Grund dieser Tatsache und der Eigenschaften des Legendreschen Symbols der Zahlentheorie gelingt es nun Verf., nachzuweisen, daß \(U\)-Matrizen für die folgenden Grade existieren: \[ m=2^k (p^h + 1),\quad m=2^k p(o+1), \] falls diese Zahlen durch \(4\) teilbar sind. Die Bedingung \(m\equiv 0\) (mod \(4\)) ist für die Existenz von \(U\)-Matrizen außer für \(m=1,2\) notwendig:Über die \(U\)-Matrizen vom Grade \(2^k\) beweist Verf. schließlich noch den Satz, daß man die \(2^m\) möglichen Reihen in \(+1\) und \(-1\) zu \(\frac {2^m}{m}\) \(U\)-Matrizen anordnen kann. Reviewer: Specht, W., Dr. (Breslau) Cited in 1 ReviewCited in 53 Documents JFM Section:Erster Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 2. Kombinatorik. Determinanten und Matrizen. PDFBibTeX XMLCite \textit{R. E. A. C. Paley}, J. Math. Phys., Mass. Inst. Techn. 12, 311--320 (1933; JFM 59.0114.04) Full Text: DOI