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On orthogonal matrices. (English) JFM 59.0114.04

Die Frage, die Verf. behandelt, ist die nach der Existenz quadratischen orthogonaler Matrizen \((M\cdot M'=nE')\), deren Elemente nur die Werte \(\pm 1\) besitzen. Bisher war die Existenz solcher Matrizen nur für bestimmte Grade \(n\) von Sylvester nachgewiesen worden; aber auch Verf. gelingt es nicht, das Problem allgemein zu lösen; sondern er muß sich darauf beschränken, weitere Fälle, die allerdings einen bedeutenden Fortschritt in der Frage darstellen, zu behandeln.
Bezeichnet man eine Matrix der geschilderten Art als \(U\)-Matrix, so folgt aus der Existenz von \(U\)-Matrix, so folgt aus der Existenz von \(U\)-Matrizen für die Grade \(m_1\) und \(m_2\) sofort die Existenz einer \(U\)-Matrix für den Grad \(m_1 m_2\); denn mit \(U_1, U_2\) ist auch das Kroneckersche Produkt \(U_1\times U_2\) eine \(U\)-Matrix.
Auf Grund dieser Tatsache und der Eigenschaften des Legendreschen Symbols der Zahlentheorie gelingt es nun Verf., nachzuweisen, daß \(U\)-Matrizen für die folgenden Grade existieren: \[ m=2^k (p^h + 1),\quad m=2^k p(o+1), \] falls diese Zahlen durch \(4\) teilbar sind. Die Bedingung \(m\equiv 0\) (mod \(4\)) ist für die Existenz von \(U\)-Matrizen außer für \(m=1,2\) notwendig:
Über die \(U\)-Matrizen vom Grade \(2^k\) beweist Verf. schließlich noch den Satz, daß man die \(2^m\) möglichen Reihen in \(+1\) und \(-1\) zu \(\frac {2^m}{m}\) \(U\)-Matrizen anordnen kann.

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