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On the class-number in imaginary quadratic fields. (English) JFM 60.0155.01
Beweis von {\it Gau{ß }}schen Vermutung $\text G$: Zu jeder vorgegebenen Klassenzahl $H$ gibt es nur endlich viele imaginär-quadratische Zahlkörper $P(\sqrt d)$ ($d<0$ die Körperdiskriminante). Da nach {\it Hecke} bekannt ist, da{ß } dieser Satz unter der Annahme der {\it Riemann}schen Vermutung $\text R$ für alle {\it Dirichlet}schen $L$-Reihen $L(s,\chi )$ mit Charakteren$\chi $ der Ordnung Zwei richtig ist ($\text R\rightarrow \text G$), so genügt es, seine Richtigkeit auch unter der gegenteiligen Annahme $\text R$ zu zeigen ($\bar {\text R} \rightarrow \text G$). Durch formale Umkehrung kommt dies darauf hinaus aus der Annahme $\bar {\text G}$ der Existenz unendlich vieler $P(\sqrt d)$ mit einer festen Klassenzahl $H$ auf die Richtigkeit der {\it Riemann}schen Vermutung für alle genannten $L(s,\chi )$ zu schlie{ß }en ($\bar {\text G} \rightarrow \text R$). In dieser Richtung waren in neuester Zeit zwei Teilresultate gewonnen worden: 1. ({\it Deuring}, Imaginäre quadratische Zahlkörper mit der Klassenzahl 1. M. Z. 37 (1933), 405-415; F. d. M. 59$_{\text{II}}$) Aus der Existenz unendlich vieler $P(\sqrt d)$ mit der Klassenzahl $H=1$ folgt die Richtigkeit der {\it Riemann}schen Vermutung für die {\it Riemann}sche $\zeta $-Funktion $\zeta (s)$. 2. ({\it Mordell}, 1934; F. d. M. 60$_{\text{I}}$, 156) Aus der Existenz unendlich vieler $P(\sqrt d)$ mit irgendeiner festen Klassenzahl $H$ folgt die Richtigkeit der {\it Riemann}schen Vermutung für $\zeta (s)$. Die Beweise dieser Tatsachen beruhen auf einer asymptotischen Entwicklung der {\it Dedekind}schen $\zeta $-Funktion $$ Z(s)=\zeta (s)L(s,\psi )=\sum _{\frak n}\frac 1{N(\frak n)^s} $$ von $P(\sqrt d)$ ($\psi $ der zu $P(\sqrt d)$ gehörige {\it Dirichlet}sche Charakter $\psi (n)=(\frac dn)$ der Ordnung Zwei; $\frak n$ durchläuft alle ganzen Ideale von $P(\sqrt d)$) mittels der {\it Euler-Maclaurin}schen Summenformel. Verf. verallgemeinert diese Methode auf die aus den Charakteren $\chi $ der Ordnung Zwei von $P$ durch Normübertragung auf $P(\sqrt d)$ entspringenden $L$-Reihen $$ \Lambda (s,\chi )=L(s,\chi )L(s,\chi \psi )=\sum _{\frak n}\frac {\chi (N(\frak n))}{N(\frak n)^s}. $$ Die asymptotische Entwicklung lautet hier: $$ \Lambda (s,\chi )\sim \zeta (2s).\prod _{\chi (p)=0}\left (1-\frac 1{p^{2s}}\right ).\sum _{i=1}^H \frac {\chi (N(\frak a_i))}{N(\frak a_i)^s}. $$ Sie bezieht sich auf $d\rightarrow -\infty $ durch die Diskriminanten solcher Körper $P(\sqrt d)$, deren Klassenzahl den festen Wert $H$ hat; $s$ ist fest mit $2>\frak R(s)>\frac 12$ gedacht; $\frak a_i$ durch läuft Repräsentantensystem von ganzen Idealen kleinster Norm aus den $H$ Idealklassen von$P(\sqrt d)$. Auf Grund des überwiegenden, leicht berechenbaren Beitrags der ambigen Idealklassen ergibt sich die asymptotische Abschätzung: $$ \sum _{i=1}^H \frac {\chi (N(\frak a_i))}{N(\frak a_i)^s}\gtrsim \frac 1{4H^2} $$ für $d\rightarrow -\infty $ wie vorher und $\frak R(s)\geqq \frac 12$. Daraus folgt dann sofort, da{ß } der von $d$ unabhängige Faktor $L(s,\chi )$ von $\Lambda (s,\chi )$ für $\frak R(s)>\frac 12$ nicht verschwindet.
Reviewer: Hasse, H.; Prof. (Göttingen)