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Sur la topologie de certains espaces homogènes. (French) JFM 60.1223.05
{\it E. Cartan} hat unter den {\it Riemann}schen Räumen mit einer transitiven Isometriegruppe diejenigen ausgezeichnet, in denen die geodätische Spiegelung an einem Punkt eine Isometrie ist; sie besitzen allerlei schöne Eigenschaften, insbesondere lassen sich, wenn sie geschlossen sind, ihre {\it Betti}schen Zahlen aus der Zahl der Invarianten ihrer Isotropiegruppe berechnen (1929; F. d. M. $56_{\text{I}}$, 371). Verf. interessiert sich speziell für solche unter diesen Räumen, die sich als komplexe algebraische Mannigfaltigkeiten darstellen lassen. Er berechnet nämlich die {\it Betti}schen Zahlen auß er nach der {\it Cartan}schen Methode auch noch direkt; dabei kommt er zu sehr einfachen Homologiebasen. Nachdem er erst über die {\it Cartan}sche Methode referiert und dabei auch die Fundamentalgruppe berücksichtigt hat, betrachtet er die {\it Graß mann}schen Mannigfaltigkeiten. Die direkte Methode liefert als $2s$-te Homologiebasis die “{\it Schubert}schen Fundamentalmannigfaltigkeiten” $[a_0,\dots, a_k]$ mit $a_0 + \cdots + a_k - \frac {k(k+1)}{2} \leq s$. Dabei bedeute $[l]$ eine $l$-dimensionale Ebene des projektiven $R_n$ und (für $0 \leq a_0 < \dots < a_k \leq n$, $[a_0] < \dots < [a_k] < [n]$) $[a_0,\dots, a_k]$ die Gesamtheit der $[k]$, die in $[a_k]$ liegen und mit $[a_i]$ einen mindestens $i$-dimensionalen Schnitt haben. Weiter untersucht Verf. den Schnitt von Homologieklassen komplementärer Dimensionen und löst so exakt das {\it Schubert}sche Charakteristikenproblem. Analog ergeben sich die {\it Betti}schen Zahlen der komplexen nichtentarteten Quadrik, ferner des Analogons der ^M{\it Graß mann}schen Mannigfaltigkeiten bei der Quadrik, schließ lich der Mannigfaltigkeit der $p$-dimensionalen Ebenen eines nichtentarteten linearen Komplexes des $(2p+1)$-dimensionalen projektiven Raumes. Verf. dehnt die direkte Methode aus zur Untersuchung von Mannigfaltigkeiten, deren erzeugendes Element aus mehreren inzidenten linearen Gebilden zusammengesetzt ist. (V 5E, V 6C.)

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