zbMATH — the first resource for mathematics

Examples
Geometry Search for the term Geometry in any field. Queries are case-independent.
Funct* Wildcard queries are specified by * (e.g. functions, functorial, etc.). Otherwise the search is exact.
"Topological group" Phrases (multi-words) should be set in "straight quotation marks".
au: Bourbaki & ti: Algebra Search for author and title. The and-operator & is default and can be omitted.
Chebyshev | Tschebyscheff The or-operator | allows to search for Chebyshev or Tschebyscheff.
"Quasi* map*" py: 1989 The resulting documents have publication year 1989.
so: Eur* J* Mat* Soc* cc: 14 Search for publications in a particular source with a Mathematics Subject Classification code (cc) in 14.
"Partial diff* eq*" ! elliptic The not-operator ! eliminates all results containing the word elliptic.
dt: b & au: Hilbert The document type is set to books; alternatively: j for journal articles, a for book articles.
py: 2000-2015 cc: (94A | 11T) Number ranges are accepted. Terms can be grouped within (parentheses).
la: chinese Find documents in a given language. ISO 639-1 language codes can also be used.

Operators
a & b logic and
a | b logic or
!ab logic not
abc* right wildcard
"ab c" phrase
(ab c) parentheses
Fields
any anywhere an internal document identifier
au author, editor ai internal author identifier
ti title la language
so source ab review, abstract
py publication year rv reviewer
cc MSC code ut uncontrolled term
dt document type (j: journal article; b: book; a: book article)
On regular rings. (English) JFM 62.1103.03
In einem Ring $\germ R$ mit Einselement heißen zwei Rechts-(Links-)ideale invers zueinander, wenn ihr Durchschnitt das Nullideal und ihre Summe der ganze Ring ist. $\germ R$ heißt regulär, wenn jedes Rechtshauptideal ein Inverses besitzt. Mit dieser Forderung äquivalent sind: (1) Jedes Linkshauptideal besitzt ein Inverses, (2) jedes Rechts-(Links-)hauptideal ist durch ein Idempotent erzeugbar, (3) zu jedem Element $a$ in $\germ R$ existiert ein $x$ mit $axa = a$. Erfüllt $\germ R$ die Minimalbedingung, so ist Regularität und Halbeinfachheit von $\germ R$ gleichbedeutend. Die Mengen $R$ und $L$ aller Rechts- bzw. Linkshauptideale sind “complemented modular lattices” (vgl. {\it G. Birkhoff}, Proc. Cambridge philos. Soc. 29 (1933), 441-464; F. d. M. $59_{\text{I}}$, 154) in bezug auf Durchschnitts- und Summenbildung. Ordnet man jedem Rechts- bzw. Linksideal $\germ a$ aus $R$ bzw. $L$ das Links- bzw. Rechtsideal $\germ a^l$ bzw. $\germ a^r$ aller Elemente aus $\germ R$ zu, die $\germ a$ von links bzw. rechts annullieren, so sind die Abbildungen $\germ a \to \germ a^l$ bzw. $\germ a \to \germ a^r$ eineindeutige, antimonotone, zueinander inverse Abbildungen von $R$ auf $L$ bzw. umgekehrt. Der Beweis dieser Sätze beruht auf der Erzeugbarkeit aller Ideale aus $R$ und $L$ durch ein Idempotent. Das Zentrum $\germ Z$ von $\germ R$ ist selbst regulär. Ein Ideal $\germ a$ aus $\germ R$ ist dann und nur dann Rechts- und Linksideal, also zweiseitig, wenn es durch ein Idempotent $e$ aus $\germ Z$ erzeugt wird. Die einzigen Zerlegungen von $\germ R$ in eine Summe elementefremder zweiseitiger Ideale sind $\germ R = (e) + (1 - e)$, wo $e$ ein Idempotent aus $\germ Z$ ist. $\germ R$ ist in diesem Sinne dann und nur dann irreduzibel, wenn $\germ Z$ eine Divisionsalgebra ist. Der Durchschnitt $Z$ von $L$ und $R$ ist ein “distributive lattice”, d. h. eine {\it Boole}sche Algebra.
Reviewer: Von Caemmerer, Hanna (Göttingen)

WorldCat.org
Full Text: DOI