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Des séries exponentielles de Cauchy. (French) JFM 62.1191.03
In der Ebene der komplexen Veränderlichen $z$ seien $C_k$ ($k= 1, 2,\ldots$) Kreise mit den Radien $\varrho_k$, für die $$ \varrho_1 < \varrho_2 < \cdots < \varrho_n < \cdots, \quad \varrho_n \to \infty. $$ Es sei $C$ die Menge derjenigen Punkte aller $C_k$, die in der Halbebene $\Re(z) \geqq 0$ liegen. Es sei $\pi(z)$ eine ganze Funktion mit nur einfachen Nullstellen, die eine Summe ist von zwei ganzen Funktionen $\psi(z)$ und $\chi(z)$, welche auf einer Menge $C$ den Bedingungen $$ \left|\frac{\psi(z)}{\pi(z)}e^{\sigma z}\right| < K, \quad \left|\frac{\chi(-z)}{\pi(-z)}e^{\sigma z}\right| < K $$ genügen, mit geeignet gewählten $\varrho_k$ und $\sigma > 0$, $K > 0$. Es sei $\sigma_0$ die obere Grenze aller $\sigma$, für die solche Ungleichungen gültig sind. Weiter sei die Funktion $f(x)$ der reellen Veränderlichen $x$ meßbar (im Sinne {\it Lebesgue}s) im Intervall $(x_0, x_1)$ mit $x_1-x_0=\sigma_0$. Verf. nennt die Reihe $$ \sum_{r=\infty}^\infty c_re^{\lambda_r x} \quad \text{mit} \quad c_r = \frac{\psi(\lambda_r)}{\pi'(\lambda_r)}\int\limits_{x_0}^{x_1} e^{-\lambda_rt} f(t)\,dt $$ eine der Funktion $f(x)$ zugehörige Exponentialreihe. Er zeigt $$ \lim_{n\to \infty}\left[ \sum_{|\lambda_r|\leqq \varrho n} c_re^{\lambda_rx}- \frac 1\pi \int\limits_{x_0}^{x_1} \frac{\sin \varrho_n(x-t)}{x-t}f(t)\,dt\right]= 0 $$ gleichmäßig im Intervall $x_0 + \delta \leqq x \leqq x_1-\delta$ ($\delta> 0$). Dadurch wird das Studium der Konvergenz der Exponentialreihe zurückgeführt auf ein {\it Dirichlet}sches Integral, und es werden deshalb für Exponentialreihen ähnliche Konvergenzbedingungen gültig sein, wie für {\it Fourier}reihen (die offenbar spezielle Exponentialreihen sind).
Reviewer: Kloosterman, H. D.; Dr. (Leiden)