Magnus, W. Über Beziehungen zwischen höheren Kommutatoren. (German) JFM 63.0065.01 J. reine angew. Math. 177, 105-115 (1937). Verf. beweist zunächst den schon früher von ihm vermuteten und inzwischen von O. Grün (Über eine Faktorgruppe freier Gruppen, I, Deutsche Math. l (1936), 772-782; F. d. M. 62\(_{\text{II}}\)) bewiesenen Satz, daß sich der freie Liesche Ring aus \(n\) Erzeugenden treu darstellen läßt im freien assoziativen Ring aus \(n\) Erzeugenden (vgl. auch E. Witt, J. reine angew. Math. 177 (1937), 152-160 und G. Birkhoff, Ann. Math., Princeton, (2)38 (1937), 526-532; F. d. M. 63\(_{\text{I}}\), 89-90). Früher hatte Verf. schon gezeigt, daß aus diesem Satze folgt, daß die \(m\)-te Gruppe der absteigenden Zentralreihe der freien Gruppe \(\mathfrak F_n\) aus \(n\) Erzeugenden übereinstimmt mit der von ihm definierten \(m\)-ten Dimensionsgruppe (Math. Ann. 111 (1935), 259-280; JFM 61.0102.*). Ferner ergibt sich ein neuer Beweis der Hallschen Identität \[ (ab)^p \equiv a^pb^pc^p(\mathfrak Z_p), \] wobei \(\mathfrak Z_p\) das \(p\)-te Glied der absteigenden Zentralreihe ist und \(c\) in der Kommutatorgruppe der von \(a\) und \(b\) erzeugten Gruppe liegt. – In der eben zitierten Arbeit des Verf. wird jedem Potenzprodukt aus \(\mathfrak F_n\) ein Gewicht zugeordnet (das Gewicht ist gleich der Dimension der nicht konstanten, von null verschiedenen Summanden niedrigster Dimension in der zugeordneten Potenzreihe). Sind \(c_1, c_2\) zwei Elemente aus \(\mathfrak F_n\) mit den Gewichten \(w_1,w_2\), so gilt für das Gewicht \(w\) des Kommutators \(c_1c_2c_1^{-1}c_2^{-1}\): \[ \mu=w-w_1-w_2\geqq 0, \] wobei das Gleichheitszeichen dann und nur dann steht, wenn \(w_1 = w_2\) und die aus \(c_1\) und \(c_2\) erzeugte Gruppe sich auch aus zwei Elementen \(\bar{c}_1, \bar{c}_2\) mit den Gewichten \(w_1, w_2+ \mu\) erzeugen läßt. (III 5 B.) Reviewer: Zassenhaus, H., Dr. (Hamburg) Cited in 29 Documents JFM Section:Erster Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 5. Gruppentheorie. Abstrakte Algebra. A. Gruppen. Citations:JFM 61.0102.* PDFBibTeX XMLCite \textit{W. Magnus}, J. Reine Angew. Math. 177, 105--115 (1937; JFM 63.0065.01) Full Text: DOI Crelle EuDML