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Sur les séries exponentielles de Cauchy. (Hungarian. French summary) JFM 64.0284.04
Es sei $\pi (z)$ eine ganze transzendente Funktion mit lauter einfachen Nullstellen $\lambda _0, \lambda _1, \lambda _2, \ldots $; $\chi (z)$ ebenfalls eine ganze transzendente Funktion; $\psi (z)=\pi (z) - \chi (z)$; $\varrho_1<\varrho_2<\cdots $, $\varrho_\nu \to\infty $; $K_\nu ^{+}$ der Halbkreis $|z| = \varrho_\nu $, $\germ Rz\geqq 0$. Man nehme an, es gelte $$ \int\limits _{K_\nu ^{+}} \Bigl\{ \Bigl|\,\frac {\psi (z)}{\pi (z)} \, \Bigr| + \Bigl|\,\frac {\chi (-z)}{\pi (-z)} \, \Bigr|\,\Bigr\} \, |e^{\sigma z}|\,|dz| =O\,(1)\qquad (n\to\infty )\tag1 $$ für gewisse $\sigma $; es sei $\bar\sigma $ die obere Grenze dieser $\sigma $; $x_0$ sei eine reelle Zahl; $x_1=x_0+\bar\sigma $. Ist nun die Funktion $f(x)$; im Intervalle $(x_0, x_1)$ $L$-integrierbar, so wird die Reihe $$ f(x)\sim \sum _{\nu =0}^\infty c_\nu \,e^{\lambda _\nu x}\ \ \ \text{mit } c_\nu = \frac {\chi (\lambda _\nu )}{\pi (\lambda _\nu )} \int\limits _{x_0}^{x_1} e^{\lambda _\nu t}\,f(t)\,dt\tag2 $$ als Cauchysche Exponentialreihe von $f (x)$ bezeichnet. (Die obigen Bedingungen verlangen weniger als die entsprechenden bei {\it Picard} (Traité d’analyse, Bd. II (1893; F. d. M. 25, 443 (JFM 25.0443.*)), S. 167ff.) Verf. beweist, daß die Konvergenz der (zum Intervall $(x_0,x_1)$ gehörigen) Fourierreihe von $f (x)$ an einer inneren Stelle des Intervalls eine hinreichende und, falls $\varrho _n = O (n)$, auch notwendige Bedingung der Konvergenz der Reihe (2) im selben Punkte ist. Ferner wird das Verhalten der Reihe (2) an den Stellen $x_0$ und $x_1$ untersucht und ein Satz über gliedweise Integrierbarkeit der Reihe (2) (sogar unter einer allgemeineren Bedingung, nämlich mit $O(\varrho _n)$ statt $O(1)$ in (1)) bewiesen. Endlich folgen Beispiele mit speziellen $\chi $ und $\psi $.
Reviewer: Kalmár, L.; Dr. (Szeged)