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On the classification of real simple Lie groups. (English) JFM 65.1131.03
Eine reelle einfache Liesche Infinitesimalgruppe läßt sich aus einer komplexen einfachen Gruppe mit den infinitesimalen Transformationen \(\sum a_iX_i\) (\(a_i\) komplex) dadurch gewinnen, daß man eine Basis \(X_i\) mit dazugehörigen Strukturkonstanten \(c_{ik}^s\) wählt. Nach Cartan-Weyl kann weiter jede komplexe halbeinfache Gruppe aus einer reellen kompakten halbeinfachen Gruppe mit negativ definiter Cartanscher Form \(\varphi\) in der Weise erzeugt werden, daß man den \(r\) Parametern in der Infinitesimalgruppe der kompakten Gruppe komplexe Werte erteilt. Die zu einer gegebenen komplexen halbeinfachen Gruppe gehörigen reellen Formen lassen sich nach einem Ergebnis von Cartan sämtlich dadurch aus den involutiven Automorphismen \(S \,(S^2= E)\) der erwähnten kompakten Gruppe erhalten, daß man als Basis die Eigenvektoren der Matrix \(S\) wählt, und zwar noch mit \(i\) multipliziert, falls der dazugehörige Eigenwert – 1 ist. Verf. gibt für den Satz einen rein algebraischen Beweis. Mit Hilfe dieses Satzes und früherer Ergebnisse übr die kanonische Darstellung der Automorphismen einer komplexen halbeinfachen Gruppe (vgl. die vorstehend besprochene Arbeit) kann er dann alle reellen Typen der einfachen Lieschen Gruppen angeben, was vor ihm bereits auf anderem Wege durch Cartan (vgl. Ann. sci. École norm. sup. (3) 31 (1914), 263-355; J. math. pur. appl., Paris, (7) 8 (1922), 1-33; F. d. M. 45, 1408; 55\(_{\text{I}}\), 248) und Lardy (Comment. math. Helvetici 8 (1936), 189-234; F. d. M. 62\(_{\text{I}}\), 444) geschehen war.

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