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Über die Fouriersche Reihe der Abkühlung. (Hungarian. German summary) JFM 68.0144.03
In seiner “Théorie analytique de la chaleur” hat {\it Fourier} u. a. die folgende Reihenentwicklung betrachtet: $$ f(x) = \sum_{\nu = 1}^\infty A_\nu \sin\ \mu_\nu x \qquad (0\leqq x <a), $$ wo $\mu_1, \mu_2,\dots$ die positiven Wurzeln der transzendenten Gleichung $z + h \cdot \, \text{tg }z = 0 $ (etwa in wachsender Anordnung) bedeuten; $h$ ist dabei eine positive Konstante. Da die Funktionen sin $\mu_\nu x$ auf $(0, a)$ ein (nicht normiertes) Orthogonalsystem bilden, erhält man durch gliedweise Integration: $$ A_\nu= \frac {2\mu_\nu}{2a\mu_\nu - \sin\, 2a\mu_\nu} \int\limits_0^a f(t) \sin\, \mu_\nu t\, dt. $$ Verf. verallgemeinert diese Reihenentwicklung folgendermaßen. Er betrachtet ein beliebiges Intervall $(x_0,x_1)$ von der Länge $2a$. Einer beliebigen Funktion $f (x)$, die auf $( x_0, x_1)$ definiert und $L$-integrierbar ist, ordnet er die Reihe $$ \frac h{2(1+ah)} \int\limits_{x_0}^{x_1} f(t) dt + \sum_{\nu = 1}^\infty \frac {2\mu_\nu}{2a\mu_\nu - \sin\, 2a\mu_\nu} \int\limits_{x_0}^{x_1}f(t) \cos\, \mu_\nu (x - t)\, dt $$ zu und nennt sie die “Fouriersche Reihe der Abkühlung” von $f (x)$. Diese Reihe erweist sich als Sonderfall der Cauchyschen Exponentialreihen, folglich ist sie in $(x_0, x_1)$ mit der auf $(x_0, x_1)$ bezogenen gewöhnlichen Fourierschen Reihe äquikonvergent (Verf., C. R. Acad. Sci., Paris, 200 (1935), 1712-1714; Mat. fizik. Lapok 45 (1938), 115-132; F. d. M. 62, 1191 (JFM 62.1191.*); 64, 284). Verf. stellt sich nun die Frage, wie sich diese Reihe außerhalb $(x_0,x_1)$ verhält. Es ergibt sich, daß in allen Stellen, die modulo $2a$ kongruent sind, die Reihe entweder gleichzeitig konvergiert oder gleichzeitig divergiert. Ist $s_n(x)$ die $n$-te Partialsumme, so hat man für $x_0 \leqq x < x_1$: $$ \lim_{n \to \infty } \frac {s_n (x) - s_n (x+2a)}{2} = he^{-hx} \int\limits_{x_0}^{x}e^{ht} f(t)\, dt. $$ Diese Tatsache führt zu folgendem Summationsverfahren: Sei $$ F(x) = \lim_{n \to \infty } \frac {s_n (x) - s_n (x+2a)}{2}; $$ diese Funktion ist totalstetig, und es gilt $f (x) = F (x) + \dfrac 1h F^\prime (x)$ fast überall auf $[x_0, x_1)$, insbesondere in allen Stetigkeitsstellen von $f(x)$.
Reviewer: Von Sz. Nagy, B.; Prof. (Szeged)