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Die regulären Polyeder, als Lösungen von Extremalaufgaben. (Hungarian. German summary) JFM 68.0341.02
Gewisse Extremalaufgaben, deren Lösungen in der Ebene die regelmäßigen Vielecke sind, führen bei Übertragung auf den Raum nicht immer auf die regulären Vielflache, wie schon Steinitz betont hat. Ein Beispiel, bei dem sich die Dreieckspolyeder als ausgezeichnet herausstellen, ist das folgende: Sei $\germ P_n$ eine beliebige Anordnung von $n$ Punkten auf der Einheitskugel und $d$ der kleinste unter allen Abständen $P_iP_k$; gesucht ist jene Anordnung $\germ P_n$, für welche $d$ den größtmöglichen Wert $e_n$ erreicht. Daß diese Aufgabe im allgemeinen nicht eindeutig lösbar zu sein braucht, lehrt der Fall $n= 5$ mit $e_5 = \sqrt 2$. Bezeichnet $s_n$ die Kantenlänge des der Einheitskugel eingeschriebenen regulären Vielflachs mit $n$ Ecken ($n=$ 4, 6, 8, 12, 20), dann ist zunächst gewiß $e_n\geqq s_n$. Es zeigt sich nun, daß das Gleichheitszeichen nur in den Fällen $n =$ 4, 6 und 12 gilt und daß sich hier die zugehörigen Punktgruppen $\germ P_n$ zwangsläufig auf die Ecken eines regelmäßigen Tetraeders, Oktaeders bzw. Ikosaeders verteilen. Für $n = 8$ und 20 gilt sicher das Größerzeichen, mit anderen Worten, der Würfel und das reguläre Dodekaeder kommen als Lösungen der obigen Extremalaufgabe nicht in Betracht.
Reviewer: Wunderlich, W.