×

\(L^ p\)-\(L^ q\) estimates for orbital measures and Radon transforms on compact Lie groups and Lie algebras. (English) Zbl 0843.43011

Sei \(G\) eine kompakte einfach zusammenhängende Lie-Gruppe und \({\mathfrak g}\) die zugehörige Lie-Algebra. Sei \(T\) ein maximaler Torus in \(G\) und \({\mathfrak t}\) die zugehörige Unteralgebra von \({\mathfrak g}\). Für ein reguläres Element \(H_0 \in {\mathfrak t}\) sei \(x_0 : = \text{Exp} H_0\) und \(\mu_{x_0}\) das kanonische Maß auf der Konjugationsklasse von \(x_0 \in G\). Die Autoren untersuchen, in wieweit die Faltung mit \(\mu_{x_0}\) einen beschränkten Operator von \(L^p (G)\) nach \(L^q (G)\) definiert, \(1 \leq p < q \leq \infty\). Die entsprechende Frage wird auch auf \({\mathfrak g}\) studiert, wobei \(\mu_{x_0}\) durch das kanonische Maß \(\gamma_{H_0}\) auf der adjungierten Bahn von \(H_0 \in {\mathfrak g}\) zu ersetzen ist. Fragen dieser Art wurden für verschiedene Typen von singulären Maßen (insbesondere für glatte Maße auf bestimmten Untermannigfaltigkeiten) schon mehrfach behandelt [siehe z.B. W. Littman, Partial diff. Equ., Berkeley 1971, Proc. Sympos. pure Math. 23, 479-481 (1973; Zbl 0263.44006); D. M. Oberlin, Colloq. Math. 47, 113-117 (1982; Zbl 0501.42007); F. Ricci und E. M. Stein, J. Funct. Anal. 86, 360-389 (1989; Zbl 0684.22006)]. Teilweise wurden die betreffenden Paare \((p,q)\) exakt bestimmt. Die Autoren beantworten nun die eingangs gestellte Frage vollständig für den Fall, daß \(G\) einfach ist. Der Beweis arbeitet mit einer komplexen Familie von Distributionen, unter denen sich das Maß \(\mu_{x_0}\) befindet, und benutzt eine komplexe Interpolationsmethode.
Im zweiten Abschnitt der Arbeit definieren die Autoren, ausgehend von der adjungierten Darstellung, eine Radon-Transformation \(R\) auf der Lie-Algebra \({\mathfrak g}\); dabei ist die Radon-Transformierte einer Funktion \(f\) auf \({\mathfrak g}\) eine Funktion auf \(G/T \times {\mathfrak t}\). \((R\) kann interpretiert werden als Einschränkung der klassischen \(2m\)-dimensionalen Radon-Transformation auf ein reduziertes System \(2m\)-dimensionaler Ebenen.) Die Autoren bestimmen nun die Gesamtheit aller Paare \((p,q)\), für die \(R\) ein beschränkter Operator von \(L^p\) nach \(L^q\) ist. (Entsprechende Ergebnisse für die klassische Radon-Transformation finden sich in [D. M. Oberlin und E. M. Stein, Indiana Univ. Math. J. 31, 641-650 (1982; Zbl 0548.44003)] und [M. Christ, Indiana Univ. Math. J. 33, 891-910 (1984; Zbl 0597.44003)]).

MSC:

43A80 Analysis on other specific Lie groups
22E30 Analysis on real and complex Lie groups
42B20 Singular and oscillatory integrals (Calderón-Zygmund, etc.)
44A12 Radon transform
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI