Jüttler, Bert About the construction of rational curves and surfaces on quadrics. (Zur Konstruktion rationaler Kurven und Flächen auf Quadriken.) (German) Zbl 0781.51014 J. Geom. 47, No. 1-2, 53-64 (1993). Eine Kugel \(K\) des euklidischen Dreiraumes \(E_ 3\) wird in bekannter Weise mit Hilfe aus der Kinematik bekannten Euler-Parameters \(p_ 0,p_ 1,p_ 2,p_ 3\) parametrisiert. Faßt man die \(p_ 0,p_ 1,p_ 2,p_ 3\) als homogene Koordinaten in einem geeignet strukturierten projektiv abgeschlossenen euklidischen Raum \(\overline E_ 3\) auf, so wird die entsprechende Abbildung \(\delta:\overline E_ 3\to K\) als verallgemeinerte stereographische Projektion angesprochen. Der Autor weist nach, daß \(\delta\) Zusammensetzung einer Netzprojektion in \(\overline E_ 3\) und einer stereographischen Projektion ist. Das Abbildungsnetz ist dabei ein elliptisches Drehnetz. Analoges läßt sich auch dann durchführen, wenn statt der Kugel \(K\) ein geeignet parametrisiertes hyperbolisches Paraboloid \(H\) vorliegt. Dann kann eine wieder verallgemeinerte stereographische Projektion genannte Abbildung \(\delta:\overline E_ 3\to K\) gefunden werden, für die obiges Resultat wieder gilt. Das Abbildungsnetz ist dabei ein hyperbolisches Drehnetz, das Zentrum der anschließenden stereographischen Projektion ist der Berührpunkt von \(H\) mit der Fernebene. Die gewonnenen Resultate lassen sich bei der Konstruktion von rationalen Bezierkurven bzw. -flächen auf \(K\) bzw. \(H\) verwenden. Reviewer: Otto Röschel (Graz) Cited in 1 Document MSC: 51N20 Euclidean analytic geometry 68U07 Computer science aspects of computer-aided design 53A17 Differential geometric aspects in kinematics Keywords:stereographic projection; rational curves; patches; spheres; hyperbolic paraboloids × Cite Format Result Cite Review PDF Full Text: DOI References: [1] BENZ, W.:Vorlesungen über Geometrie der Algebren. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1973. · Zbl 0258.50024 [2] BEREIS, R., und BRAUNER, H.:Schraubung und Netzprojektion. Elemente der Mathematik 12 (1957), 33-41. · Zbl 0077.14601 [3] BOEHM, W., und HANSFORD, D.:Bézier patches on Quadrics. in FARIN, G. (Hrsg.):NURBS for Curve and Surface Design. SLAM, Philadelphia 1991, 1-14. · Zbl 0760.68087 [4] DICKSON, L.E.:History of the Theory of Numbers, Vol. II. Chelsea, New York 1952, 265-269. [5] DIETZ, R., HOSCHEK, J., und JÜTTLER, B.:An algebraic approach to curves and surfaces on the sphere and on other quadrics. Computer Aided Geometric Design10 (1993). · Zbl 0781.65009 [6] DIETZ, R., HOSCHEK, J., und JÜTTLER, B.:Rational Patches on Quadric Surfaces, eingereicht bei Computer Aided Design. · Zbl 0814.65020 [7] ECKHART, L.:Konstruktive Abbildungsverfahren. Verlag von Julius Springer, Wien 1926. [8] FINK, U.:Biquadratische Bézier-Flächenstücke auf Quadriken. Dissertation, Universität Stuttgart 1992. [9] GEISE, G., und LANGBECKER, U.:Finite quadric segments with four conic boundary curves. Computer Aided Geometric Design 7 (1990), 141-150. · Zbl 0716.65012 · doi:10.1016/0167-8396(90)90026-N [10] GIERING, O.:Vorlesungen über höhere Geometrie. Vieweg, Braunschweig 1982. · Zbl 0493.51001 [11] HOSCHEK, J., und LASSER, D.:Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung. Teubner, Stuttgart (2. Aufl.) 1992. · Zbl 0682.68002 [12] HOSCHEK, J., und SEEMANN, G.:Spherical Splines. Mathematical Modelling and Numerical Analysis 26 (1992), 1-22. · Zbl 0755.41011 [13] HOSCHEK, J.:Bézier Curves and Surface Patches on Quadrics. in LYCHE, T. und SCHUMAKER, L.L. (Hrsg.):Mathematical methods in CAGD and Image Processing. Academic Press, Boston 1992, 1-4. [14] LEBESGUE, V.A.:Sur une identité qui conduit à toutes les solutions de l’equation t2=x2+y2 + z2. Comptes rendus de l’Académie des sciences de Paris 66 (1868), 396-398. [15] TUSCHEL, L.:Über die Schraubliniengeometrie und deren konstruktive Verwendung. Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften Wien 120 (1911), 233-254. · JFM 42.0697.01 [16] WARREN, J., und LODHA, S.:A Bézier Representation for Quadric Surface Patches. Computer-aided Design 22 (1990), 574-579. · Zbl 0716.65007 · doi:10.1016/0010-4485(90)90042-B [17] WUNDERLICH, W.:Darstellende Geometrie nichteuklidischer Schraubflächen. Monatshefte für Mathematik und Physik 44 (1936), 249-279. · Zbl 0015.07601 · doi:10.1007/BF01699319 [18] ZINDLER, K.:Liniengeometrie mit Anwendungen, Bd. I. G.J. Göschen, Leipzig 1902. This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.