Conjugate line congruences of the third order defined by a family of quadrics. (English) JFM 44.0746.01

Owens, H. B.

American J. 35, 323-356 (1913).

Die gegenwärtige Abhandlung soll für die Strahlensysteme dritter Ordnung das anstreben, was Kummer für die Strahlensysteme zweiter Ordnung erreicht hat.
“Kongruenzen gewisser Typen können auf einem System von Quadriken angeordnet werden. Eine solche Kongruenz entsteht, wenn die beiden sie bestimmenden Bedingungen von der Form sind: \[ \varSigma a_i x - \sigma \varSigma b_i x = 0, \quad \varSigma \bar a_i x - \sigma \varSigma \bar b_i x = 0, \] wo \(a_i, \bar a_i, \bar b_i\) Funktionen eines Parameters \( \lambda\) sind und das Zeichen \(\varSigma\) bedeutet, daßdiese Summen mit den homogenen Punktkoordinaten \(x, y, z, w \) zu nehmen sind. Löst man jede dieser Gleichungen für \(\sigma,\) so folgt \[ (1) \quad \frac {\varSigma a_i x}{\varSigma b_i x} = \frac {\varSigma \bar a_i x}{\varSigma \bar b_i x} = \sigma, \] und aus dieser Form erhellt, daßdie Geraden für alle Werte von \( \sigma\) die Erzeugenden eines Systems der Quadrikenfamilie \[ (2) \quad H (\lambda ) = (\varSigma a_i x)(\varSigma \bar b_i x) - (\varSigma \bar a_i x)( \varSigma b_i x) = 0 \] definieren. Vertauscht man \(\varSigma \bar a_i \) und \(\varSigma b_i\) in den Gleichungen, so entsteht eine neue Kongruenz: \[ (3) \quad \frac {\varSigma a_i x}{\varSigma \bar a_i x} = \frac {\varSigma b_i x}{\varSigma \bar b_i x} = \tau, \] deren Strahlen die Erzeugenden der zweiten Schar in derselben Quadrikenfamilie \((2) H(\lambda) = 0\) definieren. Zwei solche Kongruenzen werden als \( \sigma- \) und \(\tau\)-Kongruenzen eingeführt und konjugierte Kongruenzen genannt. Die von dem System der Quadriken eingehüllte Fläche ist die Brennfläche der konjugierten Kongruenzen \(\sigma\) und \(\tau.\)
In der vorliegenden Arbeit werden solche Kongruenzen behandelt, die durch die Gleichungen definiert werden: \[ \left. \begin{matrix} (4) \quad \frac {a+b \lambda +c \lambda^2}{x + y\lambda}= \frac {a' + b' \lambda + c' \lambda^2}{z + w\lambda} = \sigma, \\ (5) \quad \frac {a+b \lambda +c \lambda^2}{a' + b' \lambda + c' \lambda^2} = \frac {x + y\lambda}{z + w\lambda} =\tau; \end{matrix} \right\} (I) \]
\[ \left. \begin{matrix} (6) \quad \frac {a+b \lambda +c \lambda^2 + d\lambda^3}{x + y\lambda + z\lambda^2}= \frac {a' + b' \lambda}{w} = \sigma, \\ (7) \quad \frac {a+b \lambda +c \lambda^2 + d\lambda^3}{a' + b' \lambda} = \frac {x + y\lambda + z\lambda^2}{w} =\tau. \end{matrix} \right\} (II) \] In ihnen sind \( a, b, c, d, a', b', c' \) lineare Funktionen der Veränderlichen \( x, y, z, w \) und \( \lambda, \sigma, \tau\) sind veränderliche Parameter. Die Kongruenzen werden erörtert, sowohl wenn die linearen Funktionen allgemein sind, als auch wenn sie gewisse gegebene Bedingungen erfüllen. Es ist zu bemerken, daßbeide Parameter \( \lambda, \sigma (\tau)\) rational in die Gleichung eingehen und der eine, nämlich \( \sigma (\tau)\) linear. Die konjugierten Kongruenzen (4) und (5) können auf der Quadrikenfamilie \[ (8) \;H (\lambda ) = (a + b\lambda + c\lambda^2)(z + w\lambda) - (a' + b'\lambda + c'\lambda^2)(x + y\lambda ) = 0 \] angeordnet werden. Jede Kongruenz wird aus den Erzeugenden der einen Schar auf der Quadrikenfamilie gebildet. In ähnlicher Weise werden die Kongruenzen (6) und (7) von den beiden Scharen der Erzeugenden der Familie \[ (9) H (\lambda )=w(a+b\lambda + c\lambda^2 + d\lambda^3) - (a' + b'\lambda)(x + y\lambda + z\lambda^2)=0 \] gebildet. Die beiden Scharen von Erzeugenden jeder Quadrikenfamilie sind rational trennbar.”
Von dieser analytischen Darstellung ausgehend, zeigt die Verfasserin sofort, daßdie behandelten Strahlensysteme von der dritten Ordnung und im allgemeinen von der neunten Klasse sind. Die allgemeinen Kongruenzen \(\sigma\) und \(\tau\) sind auf einer Familie von Quadriken angeordnet, die sechs Kegel enthält. Die Erzeugenden dieser Kegel gehören gleichzeitig den \(\sigma\)- und den \(\tau\)-Kongruenzen an. Die Klasse der Kongruenzen \(\sigma (\tau)\) wird jedesmal um eine Einheit verringert, wenn einer dieser Kegel in zwei Ebenen ausartet. Wenn eine Quadrik von \(H(\lambda)\) in zwei Ebenen zerfällt, so werden die Strahlen jedes Systems von Erzeugenden Strahlenbüschel, so daßein Büschel in jeder Ebene um je einen von zwei Mittelpunkten liegt, die im allgemeinen verschieden sind und auf der Schnittlinie der beiden Ebenen sich befinden. Der \(\sigma\)-Mittelpunkt in der einen ist der \(\tau\)- Mittelpunkt in der andern, und umgekehrt. Die Summe der Ordnungen der singulären Kegel aller \(\sigma\)- und \(\tau\)-Strahlen durch einen Basispunkt einer kubischen Kongruenz ist immer gleich der Klasse jeder Kongruenz. Die Brennfläche der allgemeinen \(\sigma\)- (\(\tau\)-) Kongruenz enthält \(\infty^1\) Raumkurven vierter Ordnung erster Art und sechs Kurven vierter Ordnung mit je einem Doppelpunkt. Die Doppelpunkte dieser sechs Kurven sind die einzigen Doppelpunkte auf der Oberfläche; diese enthält außer diesen Kurven eine Rückkehrkante von der Ordnung 12.
Die weitere Untersuchung erstreckt sich nun auf die nähere Erforschung aller solcher Kongruenzen je nach der Existenz von singulären Punkten und singulären Ebenen. Zuerst werden die Kongruenzen vom Typus (I) behandelt, danach die vom Typus (II), zuletzt solche, die auf Netzen von Quadriken liegen. Wegen der Menge der erhaltenen Ergebnisse müssen wir auf die Arbeit selbst verweisen.

Reviewer: Lampe, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Kapitel 4. Liniengeometrie (Komplexe, Strahlensysteme).