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Sur les involutions quadratiques dans l’espace à n di mensions. (French) JFM 61.0687.04

C. R. \(2^{\text{me}}\) Congrès Math. Pays slaves 188-190. Časopis Praha 64, 188-190 (1935).
Verf. hatte bei früherer Gelegenheit die involutorische Transformation \[ \begin{split} x_1^\prime :\cdots :x_{n+1}^\prime \\ =x_1x_{n+1}:\cdots :x_hx_{n+1}:-x_{h+1}x_{n+1}:\cdots :-x_nx_{n+1}:Q(x_1,\dots,x_n) \end{split}\tag{*} \] studiert, worin \(Q\) eine bezüglich der ersten \(n\) Gleichungen in (*) invariante quadratische Form bedeutet (Sur les involutions quadratiques dans l’espace à \(n\) dimensions, Časopis Praha 60 (1931), 214-224; F. d. M. \(57_{\text{I)}}\). Das zu (*) gehörige homoloidale System besteht aus einem linearen System von Hyperquadriken, die eine quadratische \((n - 2)\)-dimensionale Mannigfaltigkeit \(Q_{n-2}\) gemeinsam haben (die sogenannte Hauptmannigfaltigkeit), und einem Punkt \(H\) (dem sogenannten isolierten Hauptpunkt). Unter diesen Involutionen betrachtet nunmehr Verf. spezielle, für die der isolierte Hauptpunkt auf der Hauptmannigfaltigkeit liegt. Dabei hat man weiter zu unterscheiden, ob der Hauptpunkt regulärer oder singulärer Punkt der \(Q_{n-2}\) ist. Um die in Rede stehenden speziellen Involutionen in der Form \[ \varrho x_i^\prime =x_1x_i,\quad \varrho x_{n+1}^\prime =x_{n+1}\,\biggl(bx_1+ \sum\limits_{k=1}^{n} c_kx_k\biggr)+ \sum\limits_{k=2}^{n} a_{ik}x_i\,x_k \] darstellen zu können, ist es notwendig und hinreichend, den Hauptpunkt als nicht singulären Punkt aller Hyperquadriken des homoloidalen Systems vorauszusetzen. Ferner gilt: Eine derartige spezielle quadratische Involution ist dann und nur dann Produkt einer involutorischen Homographie und einer quadratischen Inversion, wenn ihr isolierter Hauptpunkt als singulärer Punkt auf der quadratischen Hauptmannigfaltigkeit liegt.