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On a general formula for definite integrals. (Sur une formule générale des intégrales définies.) (French) JFM 14.0216.01

Ein reducirter rationaler echter Bruch \(f(x):F(X)\), wo die Wurzeln \((\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)\) von \[ F(x) = 0 \] alle ungleich sind, wird in Partialbrüche zerlegt und dann die Entwickelung mit \(F(x)\) multiplicirt. Es sei ferner \(\varphi(x)\) eine beliebige in die Taylor’sche Reihe entwickelbare Function, deren Discontinuitätsmodul grösser als alle \(\alpha\), \(f(x)\) die Summe der \(n\) ersten Terme, \(\varepsilon^x\) der Rest. Dann ergiebt sich nach Substitution von \(\varphi(x) - \varepsilon_x\) für \(f(x)\) \[ \varphi(x)=\sum\;\frac{\varphi(x)}{F'(x)}\;\frac{F(x)}{x-\alpha} +e, \] wo \(e\) für \(n = \infty\) verschwindet. Diese Gleichung und das Integral derselben: \[ \int^b_a\varphi(x)dx=\sum\;\frac{\varphi(\alpha)}{F'(\alpha)}\;\int^b_a\;\frac{F(x)dx}{x-\alpha}+e_1 \] sind die beabsichtigten Resultate. Der Verfasser behauptet, dass sich daraus fast alle bekannten Sätze über bestimmte Integrale herleiten lassen, und giebt einige Beispiele der Anwendung. Es ist dabei zu bemerken, dass nicht nur \(F(x)\), sondern auch alle \(\alpha\) sich mit \(n\) verändern müssen, da \(F(x)\) als vom \(n^{\text{ten}}\) Grade vorausgesetzt ist. Hiermit sind in der Tat die Beispiele in Uebereinstimmung, nicht aber mit der Voraussetzung, dass \(F(x)\) ein Polynomen sei; denn es wird u. a. \(F(x) = \sin mx\) gesetzt, d. h. der Grenzwert eines Polynomens als Polynomen betrachtet.

MSC:

26A42 Integrals of Riemann, Stieltjes and Lebesgue type
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