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Ueber die Flächen mit einem System sphärischer Krümmungslinien. (German) JFM 15.0630.02
Der Herr Verfasser bemerkt bei Beginn der Arbeit, dass die Aufgabe der allgemeinen Darstellung der Flächen mit einem System sphärischer Krümmungslinien bisher noch nicht durchgeführt sei. Es scheint ihm demnach der zweite Teil der Arbeit von Enneper “Untersuchungen über die Flächen mit planen und sphärischen Krümmungslinien” (Gött. Nach. XXIII. XXVI. Ref. F. d. M. XII. 1880. 579-581, JFM 12.0579.01) entgangen zu sein, welche im Jahre 1880 erschienen ist, und in dem dasselbe Problem bereits gelöst ist. In der That citirt der Herr Verfasser auch nur den ersten Teil der genannten Arbeit, der im XXIII. Bande der Gött. Abh. enthalten ist.
Der Herr Verfasser hat nun auch seinerseits die Lösung des Problems allgemein durchgeführt. Er giebt zunächst eine Methode an, durch welche dasselbe auf die Aufsuchung der Flächen mit einem System planer Krümmungslinien zurückgeführt werden könnte. Nennt man nämlich zwei Flächen, die in entsprechenden Punkten parallele Normalen und parallele Hauptkrümmungsrichtungen haben, “ähnlich liegende” Flächen (Herr Enneper nennt sie, ebenfalls abweichend vom sonstigen Sprachgebrauch, Parallelflächen), so lässt sich der Satz beweisen:
Jede Fläche mit einem System sphärischer Krümmungslinien ähnlich liegend mit unendlich vielen Flächen gleichen Charakters, unter ihnen auch mit solchen, bei denen die Kugeln sämtlich durch einen Punkt gehen; welche mithin, wenn man sie durch reciproke Radien von diesem Punkte aus transformirt, in Flächen mit einem System planer Krümmungslinien übergehen.
Es ist leicht ersichtlich, wie man umgekehrt mit Benutzung dieser Beziehung zur allgemeinen Darstellung und zu einer Klassification aller Flächen mit sphärischen Krümmungslinien gelangen kann. Indessen schlägt der Herr Verfasser in seiner Untersuchung einen directeren Weg ein. Er setzt die Flächen in Krümmungsparametern gegeben voraus, und stellt mit Hülfe eines bekannten Joachimsthal’schen Satzes die Bedingung auf, dass das eine System der Parametercurven sphärisch sei. So gewinnt er die Differentialgleichungen, von deren Integration die Lösung des Problems abhängt. Ein Eingehen in das Detail der Rechnung würde zu weit führen.

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Full Text: DOI Crelle EuDML