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Fehlerabschätzung für das Differenzenverfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen. (German) JFM 56.0467.03

Zur genäherten Lösung linearer, partieller Differentialgleichungen elliptischen Typs kann man diese durch entsprechende Differenzengleichungen ersetzen. Die Abweichungen der so berechneten Lösung von der gesuchten hat ihren Grund einmal darin, daß man infolge der Abweichungen der Begrenzungen für die Randwerte zum Teil Näherangswerte einführen muß (Fehler von der Ordnung \(h\) der Länge der Quadratseite, die für die Differenzengleichung benutzt wird), zum anderen Teil darin, daß man statt der Differential- die Differenzengleichung löst (Fehler von der Größenordnung \(h^2\)). Beide Fehler werden bei der Abschätzung berücksichtigt. Für die Abschätzung des zweiten wird eine Majorantenmethode benutzt, die eine obere Schranke gibt, falls die gesuchte Funktion im Integrationsgebiet und auf seinem Rande beschränkte Ableitungen bis zu denen vierter Ordnung einschließlich hat, und falls man diese abschätzen kann. Das Verfahren bietet auch die Möglichkeit, bei Anwendung der Liebmannschen Näherungsmethode zur Lösung der Differenzengleichungen (1918 ; F. d. M. 46, 559 (JFM 46.0559.*)) den Fehler jeder Näherung abzuschätzen. In zwei Sonderfällen wird die Abschätzung durchgeführt und an der Gleichung \(\varDelta u=-1\) für ein Rechteck die Anwendung des Verfahrens erläutert.

MSC:

65-XX Numerical analysis

Citations:

JFM 46.0559.*
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