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On the convergence principle of B. M. Kloss. (English) Zbl 0189.17401

Le principe de convergence a été mis en évidence sur la circonférence par Paul Lévy, puis énoncé pour tout groupe compact par Kloss, avec une démonstration incomplète. Une preuve a été donnée indépendamment par I. Csiszár [Z. Wahrscheinlichkeitstheorie Verw. Gebiete 5, 279–295 (1966; Zbl 0144.39504)] (I) et par nous, qui nécessite la métrisabilité du groupe (ou: \(G\) satisfait au “first countable axiom”) et met en évidence que:
\(1^\circ)\) il existe un théorème de zéro ou un pour la suite \(\nu_k =\mu_k\cdots \mu_k\) \((k = 1,2, \ldots); \(2^\circ)\) le principe vaut (deuxième alterna-tive de \(1^\circ)\)) lorsque la famille \(\nu_k\) est uniformément tendue (ou: relativement com-pacte). Le théorème de M. Csisz\'ar rejoint aussi notre étude du ``principe d'équivalence'' (5), l'étendant élégamment aux espaces homogènes \(G/K\), fait retrouvé par \textit{A. R. Galmarino} [Z. Wahrscheinlichkeitstheorie Verw. Gebiete 7, 29--42 (1967; Zbl 0147.17104)]. Tout ceci ne doit rien à la locale compacité de \(G\) [supposée et utilisée par Galmarino, supposée dans (I) et le travail ici analysé]. L'A. donne une démonstration de même principe que la notre (qui supposait seulement que les compacts sous-tendant les \(\nu_k\) soient métrisables). La contribution originale de l'A. consiste à simplifier et étendre la preuve de la réciproque due à Kloss: Si le principe de convergence [la convergence de \(\nu_k \approx \delta(x_k)\) convenables] vaut pour toute suite \(\nu_k\), dans \(G\) localement compact, \(G\) est compact: le problème est de construire une loi symétrique donc une loi quelconque tendue \(\mu\), à support non compact, et dans tout groupe topologique non compact métrisable, il existe de telles lois, discrètes (donc cette réciproque vaut, le premier axiome de dénombrabilité suffit). La construction de l'A. utilise l'existence de la mesure de Haar, \(\mu\) est définie par une densité continue à support non compact (sans axiome de dénombrabilité).

MSC:

60-XX Probability theory and stochastic processes
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Full Text: DOI EuDML