A souped-up version of Pardini’s theorem and its application to funny curves. (English) Zbl 0703.14017

Homma, Masaaki

Compos. Math. 71, No. 3, 295-302 (1989).

Der Autor bringt eine Version eines Satzes von R. Pardini [ibid. 60, 3-17 (1986; Zbl 0607.14023)]: eine glatte Kurve vom Grad \(d\) der Gleichung \(F(X_ 1,X_ 2,X_ 3)=0\) in der projektiven Ebene \(P^ 2\) über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik \(p>2,\) hat die Eigenschaft, daß \(M(C)\geq q\) wenn und nur wenn \(q/d-1\) und es homogene Polynome \(P_ 1,P_ 2,P_ 3\in K[X_ 1,X_ 2,X_ 3]\) des Grades \((d-1)/q\) gibt, so daß \[ F(X_ 1,X_ 2,X_ 3)=\sum^{3}_{i=1}P_ i(X^ 2_ 1,X^ 2_ 2,X^ 2_ 3)X_ i, \] wobei M(C) die Multiplizität des allgemeinen Punktes von C ist.
Auf dieser Basis und mit Hilfe eines Resultats von H. Kaji, bringt der Autor einen leichten Beweis für einen eigenen Satz.

Reviewer: N.Soare

MSC:

14H20	Singularities of curves, local rings
51N15	Projective analytic geometry
14N05	Projective techniques in algebraic geometry
14G15	Finite ground fields in algebraic geometry

Keywords:

multiplicity of generic point of curve

References:

[1]	M. Homma , Funny plane curves in characteristic p > 0 , Comm. Algebra 15 (1987) 1469-1501. · Zbl 0623.14014 · doi:10.1080/00927878708823481
[2]	H. Kaji , On the Gauss map of space curves in characteristic p , to appear in Comp. Math. · Zbl 0692.14015 · numdam:CM_1989__70_2_177_0 · eudml:89960
[3]	S.L. Kleiman , Intersection theory and enumerative geometry: A decade review , Proc. of Symposia in Pure Math. 46, Amer. Math. Soc., (1987) 321-370. · Zbl 0664.14031
[4]	R. Pardini , Some remarks on plane curves over fields of finite characteristic , Comp. Math. 60 (1986) 3-17. · Zbl 0607.14023 · numdam:CM_1986__60_1_3_0 · eudml:89794
[5]	F.K. Schmidt , Die Wronskisch Determinante in belebigen differenzierbaren Funktionenkörpern , Math. Z. 45 (1939) 62-74. · Zbl 0020.10201 · doi:10.1007/BF01580273 · eudml:168839