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Introduction to hyperfunctions. Transl. from the Jap. by Y. Yamamoto, ed. by F.M. Arscott. (English) Zbl 0687.46027

Mathematics and Its Applications. Japanese Series 3. Dordrecht etc.: Kluwer Academic Publishers; Tokyo: KTK Scientific Publishers (ISBN 90-277-2837-2). xiii, 458 p. (1988).
Dieses Buch ist den Hyperfunktionen von Sato gewidmet. Die Darstellung ist weitgehend vollständig, mit Beweisen und mit dem nötigen Hintergrund an komplexer Analysis (analytische Funktionen in mehreren Veränderlichen), sowie an Garben- und Kohomologietheorie.
Der Verf. hat das Buch in zwei Teile eingeteilt, im ersten Teil werden die Hyperfunktionen geometrisch-anschaulich definiert und entwickelt. Hyperfunktionen in einer Variablen lassen sich relativ einfach als “Randwerte” auffassen. Im zweiten Teil werden die Hyperfunktionen algebraisch-homologisch definiert und untersucht. Im ersten Teil wendet sich der Verf. auch an sogenannte “Techniker”, das ist an Leute, die die Theorie irgendwie außerhalb der Mathematik anwenden wollen. Verf. hat deshalb die Beweise in extra Paragraphen gruppiert, was mich etwas stört, da die Darstellung Unterbrechungen erleidet und man ständig nachschlagen muß. Persönliche Anmerkung: wenn ein “Techniker” mit dem komplizierten Begriffsapparat der Hyperfunktionen fertig wird, dann kann er auch spielend die Beweise verstehen, dienen doch Beweise auch dazu, die Begriffe zu verfestigen.
Der Inhalt des Buches im einzelnen: Kapitel 1. Hyperfunktionen in einer Veränderlichen (Lokalisierbarkeit, Garben, welke Garben, Funktionen als Hyperfunktionen, Mikrofunktionen, singuläres Spektrum, § 5 Beweise der fundamentalen Sätze). Kapitel 2. Holomorphe Funktionen in mehreren Variablen (analytische Fortsetzung, Radon Dekomposition). Kapitel 3. Hyperfunktionen in mehreren Variablen (Definitionen, Operationen, Einbettung von Funktionen, § 3. Beweise der fundamentalen Theoreme). Kapitel 4. Verschiedene Strukturen von Hyperfunktionen (Topologie und Dualität, Hyperfunktion auf einer Mannigfaltigkeit, Hyperfunktion mit Support in einem Halbraum, in einer Hyperfläche, Mikrofunktionen).
Teil II. Kapitel 5. Garbenkohomologien (welke Garben, homologische Algebra, Kohomologien via welke Resolutionen, Čechsche Kohomologien, weiche Garben, direkte Bilder). Kapitel 6. Kohomologische Eigenschaften holomorpher Funktionen (Cousinsches Problem, Runge Gebiete, Sätze von Grauert, Weil-Oka, Malgrange, Martineau, Sato). Kapitel 7. Kohomologische Eigenschaften von Hyperfunktionen (die kohomologische Definition der Hyperfunktionen, die Welkheit der Garbe der Hyperfunktionen, Einbettung der reell analytischen Funktionen, die kohomologische Definition der Hyperfunktionen mit holomorphen Parametern). Kapitel 8. Die Fouriertransformation (die Fouriertransformation von verschiedenen Klassen von Hyperfunktionen, solche die einen kompakten Support haben, andere die exponentiell fallen und andere die langsam wachsen, Relationen zwischen verschiedenen Räumen von Hyperfunktionen, Lokalisierbarkeit, Topologie und Dualität). Viele interessante Übungsaufgaben runden den Text ab, die Lösungen findet man am Ende des Buches.
Reviewer: J.Wloka

MSC:

46F15 Hyperfunctions, analytic functionals
46F20 Distributions and ultradistributions as boundary values of analytic functions
46-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to functional analysis
32A07 Special domains in \({\mathbb C}^n\) (Reinhardt, Hartogs, circular, tube) (MSC2010)
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