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Nouvelles recherches sur les courbes invariantes par une transformation \((X, Y; x, y, y')\). (French) JFM 39.0640.02

Ausführliche Darstellung der in einer früheren Note (F. d. M. 37, 591, 1906, JFM 37.0591.01) skizzierten Theorie. Zuerst stellt der Verf. einige Betrachtungen an, die das Kapitel 4 seiner großen Abhandlung Sur les équations fonctionnelles etc. (a. a. O. 590 f.) in gewisser Beziehung ergänzen. Sodann betrachtet er eine Transformation: \[ (1) \qquad X = f (x, y, y', \dots, y^{(p)}), \quad Y = \varphi (x, y, y', \dots, y^{(p)}), \] bei der sich für \( x = x_0, \dots, y^{(p)} = y_0^{(p)}\) ergibt \(X = x_0,\;Y = y_0,\) und zeigt, daß unter gewissen Voraussetzungen eine invariante Kurve existiert, die das “Doppelelement” \((x_0, y_0,\dots, y_0^{(p)})\) der Transformation enthält. Ist nun \(T\) eine Transformation von der Form: \[ (2)\qquad X = f(x, y, y'),\;Y = \varphi (x, y, y'), \] so hat die Potenz \(T^p\) von \(T\) die Form (1), und jedes Doppelelement \((x_0, y_0, y_0')\) von \(T\) liefert durch Erweiterung ein Doppelelement von \(T^p\); andererseits gibt es aber unendlieh viele Doppelelemente von \(T^p\), die nicht durch Erweiterung von Doppelelementen von \(T\) entstehen. Hat man eine bei \(T^p\) invariante Kurve \(C\), die durch ein Doppelelement der letzteren Art geht, so nimmt \(C\) bei \(T\) mehrere verschiedene Lagen an, die von \(T\) zyklisch untereinander vertauscht werden. So kann man im allgemeinen unendlich viele bei \(T\) invariante Kurvenzyklen herstellen, und es kann vorkommen, daß ein solcher Zyklus eine einzige bei \(C\) invariante Kurve bildet.

Citations:

JFM 37.0591.01
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Full Text: DOI Numdam EuDML