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Sur les équations fonctionnelles qui définissent une courbe ou une surface invariante par une transformation. (French) JFM 37.0590.02

Einige Ergebnisse dieser Arbeit hat der Verf. schon früher ohne Beweis mitgeteilt (F. d. M. 36, 737, 1905, JFM 36.0737.01). In Kapitel 1 betrachtet er eine Punkttransformation \(T\): \[ x'=a_1x+b_1y+\dotsm ,\quad y'=a_2x+b_2y+\dotsm , \] wo \(a_1b_2-a_2b_1\not = 0\) ist und die weggelassenen Glieder von zweiter und höherer Ordnung sind, und fragt nach den durch \(x=y=0\) gehenden invarianten analytischen Kurven. Hat die Gleichung \((a_1-S)(b_2-S)-b_1a_2=0\) zwei von einander und von Null verschiedene Wurzeln \(S\) und \(S'\), so kann man die Transformation in der Form: \[ x'=Sx+\dotsm , \quad y'=S'y+\dotsm \] annehmen. Ist dann überdies \(S'-S''\) für keine positive ganze Zahl \(n\) gleich Null, so kann man zunächst eine formell bei der Transformation invariante Gleichung: \(y=c_2x^2+c_3x^3+\dots\) mit bestimmten Koeffizienten konstruieren und kann dann beweisen, daß die konstruierte Potenzreihe unbedingt konvergiert, wenn außerdem noch die Bedingung \(|S|\not =1\) erfüllt ist. Der Verf. untersucht weiter, wie sich ein Punkt \(P\) oder eine Kurve \(C\) in der Umgebung des invarianten Punktes verhält, wenn man die Transformation \(T\) oder \(T^{-1}\) beliebig oft hinter einander ausführt. Wenn \(P\) oder \(C\) dabei schließlich einer Grenzlage zustrebt, so ist diese immer der invariante Punkt \(x=y=0\) oder eine durch diesen gehende invariante Kurve. Das wird benutzt, um die bei der Transformation \(x'=Sx\), \(y'=S'y\) invarianten Kurven zu bestimmen und um auch nichtanalytische invariante Kurven in Betracht zu ziehen. In Kapitel 2 werden die entsprechenden Untersuchungen für drei Veränderliche durchgeführt. Unter gewissen Voraussetzungen ergibt sich, daß durch jeden isoliert liegenden, bei der Transformation invarianten Punkt drei invariante Kurven und drei invariante Flächen hindurchgehen. Man kann dann die Koordinaten \(x,y,z\) immer so wählen, daß die Transformation die Form: \[ x'=x(S+\dotsm ),\quad y'=y(S'+\dotsm ),\quad z'=z(S''+\dotsm ) \] erhält, wo \(S,S',S''\) die Wurzeln einer leicht angebbaren Gleichung dritten Grades sind. In Kapitel 3 wird die Bestimmung der invarianten Flächen auf anderem Wege geleistet. Weiß man nämlich, daß eine vorgelegte Transformation die eben erwähnte Form erhalten kann, so läßt sich direkt beweisen, daß die Schroedersche Gleichung: \[ \psi (x',y',z')=\chi\psi (x,y,z), \] wo \(\chi\) eine Konstante bedeutet, durch eine holomorphe Funktion \(\psi\) befriedigt werden kann, und \(\psi =0\) ist dann offenbar eine bei der Transformation invariante Fläche. Der Verf. stützt sich dabei auf Untersuchungen von Koenigs, Grévy und Leau. Er weist dann noch hin auf die Analogien dieser Theorien mit den Untersuchungen von Poincaré über die Integralkurven einer Differentialgleichung \(\xi dy-\eta dx=0\), wenn \(\xi\) und \(\eta\) für \(x=y=0\) verschwinden. In Kapitel 4 werden Transformationen von der Form: \[ x_1=\varphi (x,y,y'),\quad y_1=\chi (x,y,y') \] betrachtet. Nimmt man an, daß sich für \(x=y=y'=0\) ergibt: \(x_1=y_1=0\), so kann man unter gewissen Voraussetzungen durch die Methode der sukzessiven Annäherung die Existenz einer invarianten Kurve \(y=\psi (x)\) beweisen. Außerdem kann die Transformation immer auf eine der beiden reduzierten Formen: \[ x_1=Sx+y+\dotsm ,\quad y_1=y'+\dotsm , \]
\[ x_1=Sx+\dotsm ,\quad y_1=y'+\dotsm \] gebracht werden. In Kapitel 5 werden diese Untersuchungen auf Transformationen von der Form: \[ {\mathfrak r}=f(x,y_1,\dots ,y_n,y_1',\dots ,y_n'), \quad {\mathfrak n}_i=f_i(x_1,y_1,\dots ,y_n,y_1',\dots ,y_n')\quad\,\,\,\, (i=1,\dots ,n) \] ausgedehnt, und in Kapitel 6 werden sie auf die Berührungstransformationen der Ebene angewendet. Die Arbeit sollte namentlich von solchen, die sich mit der Theorie der Transformationsgruppen beschäftigen, gelesen werden.

Citations:

JFM 36.0737.01
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References:

[1] OEuvres complètes, t. II, pag. 36.
[2] Recherches sur les substitutions uniformes (Bullet. des Sciences mathém.es, 1883). –Recherches sur les équations fonctionnelles (Annales de l’École Normale, 1884). –Nouvelles recherches sur les équat. fonctionnelles (Annales de l’École Normale, 1885).
[3] Sur les équat. fonctionnelles (Annales de l’École Normale, 1894).
[4] Étude sur les équat. fonctionnelles à une ou à plusieurs variables (Annales de la faculté des Sciences de Toulouse, tome XI, 1897).
[5] Sur les opérations en général et les équations différentielles linéaires d’ordre infini (Annales de l’École Normale, 1897). –Sur certains équations analogues aux équations différentielles (Annales de l’École Normale, 1899).
[6] Sur les courbes définies par les équations différentielles (4.e partie, Journal de Liouville, 1886, pages 193–195).
[7] Sur une classe de transcendantes nouvelles (Acta Mathematica, tomes 18 et 23). –Sur une classe de surfaces algébriques dont les coordonnées s’expriment par des fonctions uniformes de deux paramètres (Bulletin de la Société Mathém. de France 1900). –Sur certaines équations fonctionnelles, et sur une classe de surfaces algébriques (Comptes-Rendus de l’Ac. des Science, juillet, 1904).
[8] Recherches sur les substitutions uniformes (loc. cit.).
[9] Loc. cit.
[10] Loc. cit.
[11] Je signalerai encore, au sujet de l’itération à une variable, les travaux suivants:Lémeray,Comptes-Rendus de l’Acad. des Sciences, 14 février 1898, 28 mars 1898, 20 janvier 1899. –Bulletin de la Société Mathémat. de France. Tome XXVII (pages 130–137 et 282–285).Böttcher,Beiträge zu der Theorie der Iterationsrechnung (Inaug. Dissert. Leipzig. 1898). Enfin, on trouvera une bibliographie très étendue relative à l’itération au début du Mémoire suivant, publié en langue russe:Aristof,Bulletin de la Société phys.-mathém. de Kazan. Tome X.
[12] Sopra alcuni criteri di instabilità (Annali di Matematica, Serie III, Tome V, 1901) etComptes-Rendus, 9, 16, et 23 juillet 1900). L’auteur a pour but essentiel l’étude de la stabilité des solutions périodiques des systèmes différentiels et l’application au problème des trois corps, mais il ramène la question à celle de la stabilité ou de l’instabilité des transformations ponctuelles et son travail est consacré en grande partie à cette question. Voir aussi, sur le même sujet, un Mémoire de M.r Cigala:Sopra un criterio di instabilità (Annali di Matematica, Série III, Tome XI): l’auteur s’occupe de l’instabilité des substitutions, dans le cas, signalé par M.r Levi-Civita dans son travail, où les racines de l’équation enS ont un module égal à 1 et un argument incommensurable avec 2 {\(\pi\)}.
[13] Sur l’itération et les solutions asymptotiques des équations différentielles (Bulletin de la Société Mathématique de France, Comptes-Rendus des séances, 1901).
[14] Journal de Liouville, 1886, page 193.
[15] Je me suis inspiré, pour cette comparaison, d’une remarque de M.r Leau (Étude sur les équations fonctionnelles. Annales de la faculté des Sciences de Toulouse, 1897. Chap. 1, § 13).
[16] Poincaré, loc. cit., page 195.
[17] Sophus Lie etKlein:Ueber diejenigen Curven, welche durch cin geschlossenes System von cinfach unendlich vielen linearen Transformationen in sich übergehen (Math. Annalen, IV, 1871). Signalons à ce sujet le travail suivant sur les rapports entre la théorie des groupes et la théorie de l’itération à plusicurs variables:Böttcher:Beiträge zu der Theorie der Iterationsrechnung (Inaug. Dissert. Leipzig, 1898).
[18] Hadamard,Sur l’itération et les solutions asymptotiques des équations différenticlles. (Bullet. de la Société Mathématique de France, comples-rendus des séances, 1901).
[19] Mr.Hadamard supposeS positif, mais on voit aisément que la démonstration subsiste quel que soit le signe deS.
[20] Koenigs,Recherches sur les substitations uniformes (Bullet. des Sciences Mathématiques, 1883.)
[21] Polxcaré,Sur une classe nouvelle de transcendantes uniformes. (Journal de Math. pures et appliquées, 1890.)
[22] Les courbes invariantes sont ainsi définies dans le voisinage de l’origine: dans certains cas, on pourra, à l’aide de la substitution donnée, faire le prolongement analytique des fonctions invariantes dans d’autres régions du plan. Dans son mémoire:Sur une classe de transcendantes nouvelles. (Acta Mathematica, tomes 18 et 23).M. Pigard définit ainsi dans tout le plan des transcendantes uniformesy, z,...,t de la variablex invariantes par la substitution rationnelle: \(X = mx{\mathbf{ }}Y = f(y,{\mathbf{ }}z,...,{\mathbf{ }}t)Z = \varphi (y,{\mathbf{ }}z,...,{\mathbf{ }}t){\mathbf{ }}....,T = \theta {\mathbf{ }}(y,{\mathbf{ }}z,...,{\mathbf{ }}t)\) et présentant des singularités essentielles. Mr.Poincaré a étudié les fonctions invariantes par une substitution de la même forme et n’ayant pas pourx=0 de point singulier essentiel (Sur une classe nouvelle de transcendantes uniformes. Journal de Mathématiques, 1890).
[23] La proposition ainsi énoncée appelle de nouvelles recherches, que je dois me borner à signaler: l.o Dans le cas où l est compris entre |S| et |S’|, la méthode ne s’applique plus et il resterait à étudier la série dans ce cas: des difficultés de même nature se présentent dans l’étude des points singuliers des équations différentielles où l’on rencontre des développements dans les termes desquels entrent en dénominateur des expressions de la forme {\(\alpha\)}S 1+{\(\beta\)}S 2 3 ({\(\alpha\)}, {\(\beta\)} entiecs) pouvant devenir aussi petites qu’on le veut (Ct.Dulac,Recherches sur les points singuliers des équat. différentielles. Thèse 1903, page 24). 2.o Dans le cas où l’on auraitS”=S a S’{\(\beta\)} (ouS=S’ n dans le cas de 2 variables), le calcul deZ{\(\alpha\)},{\(\beta\)} conduit en général à une impossibilité et il n’y a pas alors de solution holomorphe de l’équation fonctionnelle: exceptionnellement, il pourrait y avoir indétermination, le calcul formel donnerait une infinité de développements qu’il y aurait lieu d’étudier au point de vue de la convergence: la question analogue dans la théorie des points singuliers des équations différentielles a été étudiée parM. Bendixon (Stockholm Öfv. 1894) et parM. Horn (Journal für Mathem. 1896). 3.o Enfin il y aurait lieu de traiter le cas où l’une au moins des quantités |S|, |S’| est égale à l: le cas où |S|, |S’|, |S”| seraient tous les trois égaux à ‘ présenterait sans doute un intérêt particulier, puisque c’est le seul cas où la substitution puisse être stable, d’après les résultats obtenus parM. Levi Civita que j’ai cités dans l’introduction.
[24] Poincaré,Sur les courbes définies par les équations différentielles. (4.e partie, Journal de Liouville, 1886).
[25] Koenigs,Recherches sur les substitutions uniformes (Bullet. des Sciences Mathématiques, 1883. –Recherches sur les équations fonctionnelles (Annales de l’Ecole Normale, 1884).Grévy,Sur les équations fonctionnelles (Annales de l’Ecole Normale, 1884).Leau,Etude sur les équations fonctionnelles (Annales de la faculté des Sciences de Toulouse, 1897). On trouvera dans ce dernier mémoire l’indication des travaux antérieurs faits à ce sujet par plusieurs autres geomètres.
[26] Bullet. des Sciences Mathématiques, 1883, pages 345, 346. –Annales de l’Ecole Normale, 1884.
[27] Annales de l’Ecole Normale, 1884 (§§ III, IV, VI).
[28] Leau,loc. cit. Chap. IV, § 1.
[29] Poincaré,Sur les courbes définies par les équations différentielles, (4.e partie, Journal de Liouville, 1886). Pour l’étude des points singuliers des équations différentielles, voir aussi:Picard,Traité d’Analyse. Tome III (Chap. 1 et II et surtout leChap. IX, relatif aux points singuliers des integrales réelles, qui contient les principaux résultats établis par M.r Poincaré dans le cas de deux variables, en particulier la définition des noeuds, des cols et des foyers).
[30] Poincaré,Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles (Thèse, Paris, 1879, page 70).
[31] Journal de Liouville, 1886 (pages 162–165).
[32] Picard,Traité d’Analyse. Tome III.
[33] Koenigs,Recherches sur les substitutions uniformes (Bulletin des Sciences Mathématiques, 1883).
[34] Tresse,Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformation (Acta Mathematica, tome 18, 3.e partie, Chap. I, § 1).
[35] Tresse, ibid., § 3.
[36] Voir par exemple:Lie-Scheffers,Geometrie der Berhührungs-transformationen (Chap. III, §§ 1 et 2).
[37] Darboux,Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques (Note IX).
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