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Généralités sur les probabilités. Variables aléatoires. (French) JFM 63.0490.03

XVI + 308 p. Paris, Gauthier-Villars (Traité du Calcul des probabilités et de ses applications. Tome I, fasc. III, Premier livre.) (1937).
Verf. gibt eine zusammenfassende Darstellung moderner Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die bisher nur in den Originalarbeiten zu finden waren. Es handelt sich u. a. um Arbeiten von Cantelli, Cramér, Khintchine, Kolmogoroff, P. Lévy, v. Mises und Slutsky, vor allem aber von Fréchet selbst.
Der erste Teil ist den verschiedenen Definitionen des Begriffes Wahrscheinlichkeit sowie den Erweiterungen des Additionssatzes gewidmet.
Der umfangreiche zweite Teil bringt eine ausführliche Darstellung der Theorie der Zufallsveränderlichen (variables aléatoires). Dort werden in Kap. 3 Verteilungsfunktionen, Mittelwerte und Momente behandelt, und zwar durchweg mit Verwendung des Stieltjesschen Integralbegriffes. Ein Abschnitt über wiederholte Versuche behandelt Mittelwerte und Streuungen von Häufigkeiten sowie die Konvergenz der binomischen Verteilung gegen die Gaußsche Funktion (Grenzwertsatz von Laplace). Auch hier stehen moderne Ergebnisse und Abschätzungen im Vordergrund. Es folgen historische Bemerkungen, insbesondere über erzeugende Funktionen und die Laplace-Transformation.
Das Kap. 4 geht auf Verallgemeinerungen und Verschärfungen der Ungleichung von Bienaymé-Tschebyscheff ein. In Kap. 5 gibt Verf. eine Darstellung seiner Theorie der Zufallsveränderlichen. Zuerst wird der Begriff einer konvergenten Folge von Zufallsveränderlichen, insbesondere der der “convergence en probabilité”, eingehend erörtert und es werden Konvergenzkriterien angegeben. Alle Zufallsveränderlichen, die man in einer bestimmten Klasse von Versuchen definieren kann, werden als “Punkte” eines abstrakten Raumes aufgefaßt. Als “Abstand” zweier Zufallsveränderlichen \(X\) und \(Y\) kann die untere Grenze der Summe \((X,\, Y)_{\varepsilon}+\varepsilon\) bei veränderlichem \(\varepsilon > 0\) definiert werden. \((X,\, Y)_{\varepsilon}\) bedeutet dabei die Wahrscheinlichkeit, daß \(|\, X-Y \,| \geqq \varepsilon\) ist. Anschließend werden die verschiedenen Arten der Konvergenz und die ihnen entsprechenden Entfernungsbegriffe erörtert. Der letzte Abschnitt dieses Kapitels bringt den Begriff der “fast sicheren Konvergenz” und Anwendungen auf das “starke” Gesetz der großen Zahlen. Hier stehen Arbeiten von Khintchine und Kolmogoroff im Vordergrund.
Ein mathematischer Anhang stellt die wichtigsten Eigenschaften der monotonen Funktionen zusammen. Es folgen drei kurze Noten: (A) Eine neue Eigenschaft des zweiten Gesetzes von Laplace, (B) Abstand zweier Zufallsveränderlicher und Abstand zweier Wahrscheinlichkeitsgesetze (von P. Lévy), (C) Verschiedene Zusätze. – Eine Literaturübersicht beschließt das inhaltreiche Werk.