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Concomitant binary forms in terms of the roots. (English) JFM 26.0141.02

Die Verfasserin entwickelt eine systematische Theorie der In- und Covarianten binärer Formen als Functionen der Wurzeln. Während aber die bisherigen Behandlungen dieser Art rein real verfuhren, wird hier eine “Wurzelsymbolik” entwickelt, die nicht nur mit der von englischer und deutscher Seite stammenden “Coefficientensymbolik” weitgehende Analogien aufweist, sondern auf die sogar eine Reihe der in der Coefficientensymbolik üblichen Differentialoperatoren direct übertragbar ist. In Wirklichkeit liegt übrigens die Wurzelsymbolik auch in dem Gordan-Kerschensteiner’schen Werke implicite zu Grunde. Interessant ist eine hierüber von Sylvester (American J. II. 1879. 329) gelegentlich gemachte Äußerung, “dass Sätze, die Gordan und Jordan über symbolische Determinanten erhalten hätten, auf das engste mit entsprechenden Sätzen über Wurzeldifferenzen zusammenhingen, und dass ein systematischer Ausbau der Theorie der Differentianten von selbst zur Identität realer Determinanten mit den Gordan’schen symbolischen Determinanten führen müsste”.
Die Arbeit zerfällt in zwei Hauptabschnitte, von denen der erstere die allgemeine Theorie entwickelt, während der letztere Anwendungen auf Geometrie bringt.
Nachdem die In- und Covarianten binärer Formen als Functionen der Wurzeln eingeführt sind, wird eine eingehende Vergleichung zwischen der Wurzel- und Coefficientensymbolik vorgenommen. Als Hauptanwendung erscheint eine (n. b. erst später erscheinende) vollständige Wurzeldarstellung der In- und Covarianten einer binären Form bis zur sechsten Ordnung incl. und derjenigen für zwei solche Formen bis je zur fünften Ordnung incl.
Der zweite Teil enthält zunächst Allgemeines über die Geometrie der binären Formen, bespricht dann specielle invariante Bildungen, die in der Geometrie hervortreten; am Schluss wird ein Ausblick in die Theorie der ternären Formen eröffnet. Um wenigstens den Kernpunkt der Methode herauszugreifen, so stützt sich die Verfasserin hauptsächlich auf den Ueberschiebungsprocess, der in der Gordan’schen Symbolik zu dem elementaren symbolischen Faltungsprocess führt. Führt man aber, jedem Linearfactor einer Binärform entsprechend, je ein besonderes Symbol ein, so ist damit der Faltungsprocess unmittelbar realisirt, und man kann jede coefficientensymbolisch geschriebene Bildung wurzelsymbolisch umschreiben und umgekehrt. Auch die Determinantenrelationen, die dazu dienen, reducible Bildungen auf irreducible zurückzuführen, sind hier wie dort von analoger Gestalt.
Ein einfaches Beispiel wird das Gesagte am besten illustriren. Es soll für eine (binäre) Form vierter Ordnung \(f\) die Hesse’sche Covariante aufgestellt werden.
Gordan schreibt symbolisch \(f=a^4=b^4\) (wenn man den Index \(x\) der Bequemlichkeit halber weglässt) und erhält \(\{ff'\}^2=(ab)^2a^2b^2\). Wird \(f\) dagegen in Linearfactoren zerlegt: \(f=\alpha\beta\gamma\delta\), so ergiebt sich \(\sum(\alpha\beta)^2\gamma^2\delta^2=\sum(x_1-x_2)^2(x-x_3)^2(x-x_4)^2\), wenn \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\) die Wurzeln von \(f\) bedeuten. Genau so wie \((ab)\) die Resultante der symbolischen Linearformen \(a\), \(b\) bezeichnet, so \((\alpha\beta)\) die Resultante der realen Linearfactoren \(\alpha=\alpha_1x+\alpha_2y\), \(\beta=\beta_1x+\beta_2y\).
Thatsächlich ist also die “Wurzelsymbolik” nur eine consequente “Abkürzung” für reale Bildungen.
Die Anwendung auf ternäre Formen geht in Gestalt von Uebertragungsprincipien vor sich.

MSC:

15A63 Quadratic and bilinear forms, inner products

Citations:

JFM 11.0082.04
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