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Sur les fonctions trigonométriques. (French) JFM 36.0339.01

Um die Koeffizienten der Formel \[ \cos (n \varphi) =a_{n0} (\cos \varphi)^n +a_{n2} (\cos \varphi)^{n-2} +a_{n4} (\cos \varphi)^{n-4}+ \cdots \] zu bestimmen, wird die Entwicklung von \[ 1/(1-q) =1+q+q^2 +\cdots + q^{n+1} /(1-q) \] für \(q\) gleich \(r(\cos \varphi +i \sin \varphi)\), \(r (\cos \varphi-i\sin \varphi)\) und \(2x \cos \varphi- x^2\) benutzt; es ergibt sich dadurch \[ a_{n0} =2^{n-1}, \quad a_{n2r} =(-1) ^r \frac{2n-r}r \begin{pmatrix} n-r-1 \\ r-1 \end{pmatrix} 2^{n-2r-1}. \] Im Anschlußdaran werden die Formeln \[ \begin{aligned} & \sin x=2^{n-1} \sin \tfrac x \pi\, \sin\, \frac{x+\pi}n \sin\, \frac{x+2\pi}n \cdots \sin\, \frac{x+(n-1) \pi}n\,,\\ & \sin \tfrac \pi n\, \sin\, \frac {2\pi}n \,\sin \,\frac {3 \pi}n\, \cdots \sin\, \frac{(n-1)\pi}n =\frac n{2^{n-1}}\,,\\ & \sin \,\frac \pi{2n}\, \sin\, \frac{3\pi}{2n}\, \cdots \sin\, \frac{(2n-1)\pi}{2n} = \frac 1 {2^{n-1}}\end{aligned} \] und die Diskriminante \(\varDelta_n\) der Gleichung \(a_{n0} x^n +a_{n2} x^{n-2} +a_{n4} x^{n-4} +\cdots =\omega\) abgeleitet; es ergibt sich \(\varDelta_n\) gleich \(\frac{n^n (1-\omega^2)^{\frac{n-1}2}}{2^{(n-1)^2}}\) oder \(\frac{n^n(1-\omega^2)^{\frac n2 -1} (1+\omega)}{2^{(n-1)^2}}\), je nachdem \(n\) ungerade oder gerade ist.
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