Generalizations in the theory of numbers and theory of linear groups. (English) JFM 42.0159.02

Sanderson, Mildred

Annals of Math. (2) 13, 36-39 (1911).

Es sei \(m\) eine ganze Zahl und \(P(y)\) ein Polynom des Grades \(r\) mit ganzzahligen Koeffizienten, das in bezug auf jede in \(m\) aufgehende Primzahl irreduzibel ist. Ferner sei \(f(y)\) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, deren größter gemeinsamer Divisor zu \(m\) teilerfremd ist. Die Anzahl der nach dem Doppelmodul \((m,P(y))\) verschiedenen unter diesen Funktionen ist, wie die Verfasserin zeigt, gleich \[ [m,r]=m^r\prod\left(1-\frac1{p^r}\right), \] wo \(p\) die in \(m\) aufgehenden Primzahlen durchläuft. Jede der Funktionen \(f(y)\) genügt der Kongruenz \[ f^{[m,r]}\equiv1\quad(\text{modd.}\, m,P(y)). \] Für das Produkt der \([m,r]\) verschiedenen Funktionen \(f(y)\) besteht ein dem Wilsonschen Satze analoger Satz. Die Gruppe der Substitutionen \[ x_i^{'}=\sum_{j=1}^n c_{ij}(y)x_j\quad (\text{modd.}\, m,P(y)), \] deren Koeffizienten ganzzahlige ganze rationale Funktionen sind, und bei denen die Koeffizienten von \(|c_{ij}(y)|\) keinen in \(m\) aufgehenden gemeinsamen Teiler besitzen, ist eine endliche Gruppe der Ordnung: \[ \prod_{\nu=1}^n[m,\nu r]m^{(\nu-1)r}. \] Die Verf. gibt auch die Kompositionsreihe für diese Gruppe an.

Reviewer: Schur, Prof. (Bonn)

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Algebra. Kapitel 3. Substitutionen undGruppentheorie, Determinanten, Elimination und symmetrische Funktionen. A. Substitutionen und Gruppentheorie.