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Eine Bemerkung zur Interpolation. (German) JFM 46.0427.01

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit del Frage, in welcher Weise bei der Interpolation einer tabellarisch gegebenen Funktion die, etwa durch Abrundung der Tabellenwerte entstandenen Ungenauigkeiten in die interpolierten Werte eingehen. Es handelt sich dabei um parabolische Inlterpolation etwa mittels der Lagrangeschen Interpolationsformel: \[ g(x)=\sum_{i=0}^nX_iA_i, \] worin \[ X_i=\frac{(x-a_0)(x-a_1)\dots(x-a{i-1})(x-a_{i+1})\dots(x- a_n)}{(a_i-a_0)(a_i -a_1)\dots(a_i-a{i-1})(a_i- a_{i+1})\dots(a_i-a_n)} \] ist, und \(a_0<a_1<\cdots<a_n\) die \(n+1\) verschiedenen Argumentwerte, \(A_0,A_1,\dots,A_n\) die zugehörigen Funktionswerte bedeuten. Ist der absolute Fehler der \(A_i\) nahe gleich \(\rho\), so hat der Fehler von \(g(x)\) die obere Schranke \[ \rho G(x)=\rho\sum_{i=0}^n| X_i| =\rho\left\{\sum_{i=0}^{j-1}(- 1)^{j-i-1}X_i+\sum_{i=j}^n(-1)^{i-j}X_i\right\}. \] Um das Studium dieser Funktion \(G(x)\) handelt es sich.
Bei äquidistanten Abszissen ist diese obere Schranke des “Fehler vermöge Tafelungenauigkeit” um so geringer, je mehr das Interpolationsintervall gegen die Mitte der bei der Interpolation verwendetetn \(n+1\) Argumentstellen gelegen ist. Bei Interpolation in einem mittelsten Intervall wächst der Fehler mit wachsendem \(n\) über alle Grenzen; die maximalen Werte der Fehlerschranke werden in der Intervallmitte erreicht und sind durch den Ausdruck \[ \sum_{m=0}^{\nu-1}\left(\frac{1.3\dots(2m- 1)}{2.4\dots(2m)}\right)^2 \] gegeben, worin \(\nu-1\) die größte ganze Zahl in \(\frac n2\) bedeutet. Dieser Ausdruck wird unendlich wie \(\frac 1\pi\log n\). Eine kleine Tabelle gibt für \(n=1,2,\dots,5\) und für verschiedene Lagen des Interpolationsbereiches die numerischen Werte der relativen oberen Fehlerschranke an.

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