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Investigations on \(p\) row characteristics which are composed from thirds of integers and on the addition theorem of the theta functions belonging to them. (Untersuchungen über \(p\)-reihige Charakteristiken, die aus Dritteln ganzer Zahlen gebildet sind, und die Additionstheoreme der zugehörigen Thetafunctionen.) (German) JFM 19.0496.01

Die vorliegende Arbeit, deren Resultate von dem Herrn Verfasser teilweise schon früher (Erlang. Ber. 1886) veröffentlicht wurden, enthält in ihrem ersten Abschnitte, §§1-7, eine Theorie der \(p\)-reihigen Drittelcharakteristiken, welche sich ziemlich strenge an jene Gesichtspunkte hält, die Herr Frobenius (J. für Math. LXXXIX) für die Behandlung der Theorie der gewöhnlichen Charakteristiken angegeben hat.
Entsprechend der Einteilung der gewöhnlichen Charakteristiken in gerade und ungerade teilt der Herr Verfasser die \(3^{2p}\) Drittelcharakteristiken, die er unter Fortlassung des allen Elementen gemeinsamen Nenners 3 mit \(\left(^{\alpha_1\dots\alpha_p}_{\alpha_1'\dots\alpha_p'}\right)\) bezeichnet, in drei Arten ein, indem er eine Charakteristik von der ersten, zweiten oder dritten Art nennt, je nachdem
\(\alpha_1\alpha_1'+\cdots+\alpha_p\alpha_p'\equiv0,1\) oder \(-1(\text{mod.}3)\) ist. Dass die Anzahlen \(s_p,r_p,r_p'\) der Charakteristiken erster, zweiter, dritter Art gewisse von dem Herrn Verfasser angegebene Werte besitzen, beweist derselbe durch den Schluss von \(p-1\) auf \(p\). Da aber dieser Beweis keine Bestimmung der Anzahlen \(s_p,r_p,r_p'\) liefert, vielmehr deren Kenntinis schon voraussetzt, so wäre es wohl vorzuziehen gewesen, die von Herrn Prym (Unters. ü. d. Riemann’schen Thetafunctionen p. 52) angegebene Bestimmung der Anzahlen der geraden und ungeraden Charakteristiken nachzubilden und aus den Gleichungen \[ s_p=5s_{p-1}+2r_{p-1}+2r_{p-1}',\quad r_p=2s_{p-1}+5r_{p-1}+2r_{p-1}', \]
\[ r_p'=2s_{p-1}+2r_{p-1}+5r_{p-1}' \] die folgenden \[ s_p+r_p+r_p'=3^2(s_{p-1}+r_{p-1}+r_{p-1}'),\quad s_p-r_p=3(s_{p-1}-r_{p-1}) \]
\[ (r_p-r_p')=3(r_{p-1}-r_{p-1}') \] und hieraus weiteren \[ s_p+r_p+r_p'=3^{2p-2}(s_1+r_1+r_1')=3^{2p},\quad s_p-r_p=3^{p-1}(s_1-r_1)=3^p, \]
\[ r_p-r_p'=3^{p-1}(r_1-r_1')=0 \] abzuleiten, aus denen dann sofort \(r_p'=r_p\) folgt, während sie zur Bestimmung von \(s_p\) und \(r_p\) die Gleichungen: \[ s_p+2r_p=3^{2p},\quad s_p-r_p=3^p \] liefern.
Zur Erläuterung und teilweisen Berichtigung des im Anfange des §2 Auseinandergesetzten mag hier das Folgende bemerkt werden. Wenn irgend eine Relation zwischen beliebigen Thetafunctionen \[ \vartheta[\alpha]((v)),\quad \vartheta[\beta]((v)),\quad \vartheta[\gamma]((v)),\dots \] vorliegt, so kann man aus ihr auf zwei verschieden Weisen weitere ähnliche Relationen ableiten, erstens, indem man die Argumente der Thetafunctionen um die einer Charakteristik \([\kappa]\) entsprechenden Teile der Perioden vermehrt, zweitens, indem man auf die Thetafunctionen eine lineare Transformation \(T\) anwendet. Im ersten Falle erhält man eine Relation zwischen den Functionen \(\vartheta[\kappa\alpha]((v)),\vartheta[\kappa\beta]((v)),\dots\), im zweiten Falle (wenn man schliesslich noch die früheren Argumente und Moduln wiederherstellt) zwischen den Functionen \[ \vartheta[\alpha']((v)),\quad \vartheta[\beta']((v)),\quad \vartheta[\gamma']((v)),\dots, \] wobei allgemein die Elemente der Charakteristik \([\varepsilon']=\left[^{g_1' \dots g_p'}_{h_1'\dots h_p'}\right]\) sich aus den Elementen der entsprechenden Charakteristik \([\varepsilon]=\left[^{g_1\dots g_p}_{h_1\dots h_p}\right]\) den Gleichungen \[ g_{\nu}'=\sum_{\varepsilon}(\alpha_{\nu\varepsilon}g_{\varepsilon}-\beta_{ \nu\varepsilon}h_{\varepsilon}+\tfrac12\,\alpha_{\nu\varepsilon}\beta_{\nu \varepsilon}),\quad h_{\nu}'=\sum_{\varepsilon}(-\gamma_{\nu\varepsilon}g_{\varepsilon}+\delta_{\nu\varepsilon}h_{\varepsilon}+ \tfrac12\,\gamma_{\nu\varepsilon}\delta_{\nu\varepsilon}), \]
\[ (\nu=1,2,\dots,p) \] gemäss zusammensetzen, wenn man sich in der Bezeichnung der die Transformation \(T\) charakterisirenden ganzen Zahlen der Dissertation des Herrn Thomae anschliesst. Man kann daher sagen, dass den genannten Operationen, nämlich den Vermehrungen der Argumente um Periodenteile und den linearen Transformationen, gewisse Charakterstikenänderungen, die kurz Charakteristikenadditionen und Charakteristikentransformationen zu nennen erlaubt sein möge, entsprechen. Man erkennt nun aber sofort, dass für die Charakteristikentransformationen das Gebiet der \(3^{2p}\) Drittelcharakteristiken kein geschlossenes ist; indem im allgemeinen aus einer Charakteristik, die aus Dritteln ganzer Zahlen gebildet ist, durch Transformation eine solche hervorgeht, deren Elemente Sechstel ganzer Zahlen sind; weiter ist bekannt, dass durch Charakteristikentransformationen der Wert des Symbols \(\alpha|\beta\) nicht ungeändert bleibt, endlich aber auch, dass keine Vertauschbarkeit der Charakteristikentransformationen mit den Charakteristikenadditionen besteht. Alle diese Eigenschaften besitzt vielmehr nur jene Gruppe von Charakteristikenänderungen, bei der die Elemente \(g'\), \(h'\) der neuen Charakteristik mit den Elementen \(g\), \(h\) der ursprünglichen durch die Gleichungen \[ g_{\nu}'=\sum{}(\alpha_{\varepsilon\nu}g_{\varepsilon}-\beta_{\nu\varepsilon}h_{\varepsilon});\quad h_{\nu}'=\sum{}(-\gamma_{\nu\varepsilon}g_{\varepsilon}+\delta_{\nu\varepsilon}h_{\varepsilon}) \quad (\nu=1,2,\dots,p) \] verknüpft sind. Diesen Charakteristikenänderungen aber liegen nicht, wie der Herr Verfasser behauptet, unimodulare lineare Transformationen der Perioden oder, was dasselbe ist, lineare Transformationen der Thetafunctionen zu Grunde, sondern vielmehr lineare Transformationen verbunden mit Aenderungen der Variablen um halbe Perioden.
Der zweite Abschnitt §§8-14 behandelt die zwischen den Thetafunctionen mit Drittelcharakteristiken bestehenden Relationen. In §9 wird eine erste Gruppe von Thetaformeln abgeleitet; dieselben entsprechen genau jenen Formeln, welche Herr Frobenius in §3 seiner oben erwähnten Arbeit für die gewöhnlichen Thetafunctionen mitgeteilt hat; auch die Herstellungsweise der Formeln ist derjenigen des Herrn Frobenius nachgebildet. Die als Fundamentalformeln erscheinenden Formeln (9),(10),(11) sind einander äquivalent, insofern als aus jeder von ihnen die beiden übrigen direct erhalten werden können. Die Formel (11) ist als specieller dem Werte \(r=3\) entsprechender Fall in jener Thetaformel \((\vartheta_2)\) enthalten, welche Herr Prym und der Referent schon früher Acta Math. III. veröffentlicht haben.
In §12 beabsichtigt sodann der Herr Verfasser, eine Thetaformel herzustellen, welche der von den Herren Frobenius (a. a. o. pag. 219, Glg. 9) und Nöther (Math. Ann. XVI. 327 Glg. V) für die gewöhnlichen Thetafunctionen mitgeteilten Fundamentalformel entspricht, und versucht auch hier das Herstellungsverfahren des Herrn Frobenius nachzubilden. Der Herr Verfasser übersieht aber, dass Herr Frobenius zu der am Ende der S. 217 seiner Abhandlung stehenden Gleichung nur deshalb gelangen kann, weil ein Teil der bei ihrer Ableitung auftretenden Charakteristiken ungerade wird und in Folge dessen die ihnen entsprechenden das Argument Null besitzenden Thetafunctionen verschwinden, und bedient sich zur Gewinnung der entsprechenden Formeln am Beginne der Seite 361 einer falschen Schlussweise. Es entbehren in Folge dessen die weiteren von ihm abgeleiteten Formeln, insbesondere die Fundamentalformel (5) und die aus ihr in den §§13 und 14 gezogenen Folgerungen der Begründung. Will man eine Thetaformel ableiten, deren eine Seite von der Summe der \(3^p\) auf der rechten Seite der Formel (5) stehenden Thetaproducte gebildet wird, so wird man mit Vorteil von der Glg. (11) des §9 ausgehen und auf sie ein Verfahren anwenden, welches demjenigen analog ist, dessen sich Herr Prym (Unters. über die Riemann’sche Thetaf. p. 94) im siebenten Artikel seiner fünften Abhandlung bedient; man wird dann entsprechend der Formel (II) jener Abhandlung zu einer Formel gelangen, welche an Stelle der Formel (5) des Herrn Verfassers zu setzen ist. Von der Aufstellung derselben mag hier aber umsomehr abgesehen werden, als die vom Herrn Verfasser aufgestellten Fundamentalsysteme so lange der Existenzberechtigung entbehren, als nicht an den ihnen entsprechenden Thetafunctionen gewisse sie auszeichnende Eigenschaften nachgewiesen werden können, wie sie den Thetafunctionen der Fundamentalsysteme des Herrn Frobenius in der That zukommen.

MSC:

14K25 Theta functions and abelian varieties

Keywords:

theta functions
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