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Über Kurvenpunkträume und ihre Anwendung auf Variationsprobleme mit höheren Ableitungen. (German) Zbl 0018.22003
MSC:
49-XX Calculus of variations and optimal control; optimization
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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Vgl. Sur un théorème général du calcul des variations [C. R.201 (1935), S. 705-707]; Calcul des variations dans les espaces distanciés généraux [C. R.202 (1936), S. 1007-1009], zitiert als (C. R.2); Courbes minimisantes non rectifiables et champs généraux de courbes admissibles dans le calcul des variations [C. R.202 (1936), S. 1648-1650], zitiert als (C. R.3); vor allem Die metrische Methode in der Variationsrechnung, Ergebn. eines math. Kolloquiums, Heft 8, S. 1-32; zitiert als (M. Erg.).
[2] Sopra l’esistenza della soluzione nei problemi di calcolo delle variazioni di ordinen [Annali di Pisa (2)5 (1936)].
[3] Vgl. (M. Erg.), § 3.
[4] C. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen 1918, S. 161ff. · JFM 46.0376.12
[5] D. Hilbert, Über das Dirichletsche Prinzip, Jahresbericht der dtsch. Mathematikervereinigung8 (1900), S. 184; Ges. Abh. Bd. III, S. 10-14.
[6] Vgl. (C. R.2) und (M. Erg.) §§ 8 und 9. Die letzteren habe ich teilweise wörtlich übernommen, jedoch ohne auf die Verzerrung der Metrik ein besonderes Gewicht zu legen. Denn, daim vorliegenden Falle, wie später (§ 20, 22, 28) ersichtlich, die Funktion ? (p; q, r) nur für gewisse Punkte und Punktepaare vonR definiert zu werden braucht, sinkt der Begriff des verzerrten RaumesR ? zu einer bequemen Bezeichnungsweise herab.
[7] Vgl. (C. R.2) und (M. Erg.) §§ 10-12. Neu hinzu kommt die Einführung der Punktepaarschwankung. Man beachte auch die etwas abweichende Definition der Kontraktion.
[8] Mitp 1 bezeichnen wir den Anfangspunkt vonP
[9] Vgl. den in seiner Anordnung sehr ähnlichen Beweis bei (M. Erg.) §§ 21-24.
[10] Vgl. (M. Erg.), besonders § 26, 27 und 40.
[11] Es genügt auch ein sog. Längenraum. Vgl. (M. Erg.) § 33.
[12] Von der Betrachtung nichtrektifizierbarer Streckenbilder sehen wir in der vorliegenden Arbeit ganz ab. Doch dürfte man unter entsprechenden stärkeren Voraussetzungen über die Funktion ? (p; q, r) auch dafür zu Resultaten von allgemeinerer Bedeutung gelangen. Für die gewöhnlichen Variationsprobleme vgl. (C. R3) und (M. Erg.) §§ 28-32, 39 und 40 und 57ff.
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