×

Inversion of the Radon transform on the free nilpotent Lie group of step two. (English) Zbl 1300.43008

Die freie 2-stufig nilpotente Lie-Gruppe \(F_{2n,2}\) in \(2n\) Erzeugenden kann realisiert werden als direkte Summe \(\mathbb{R}^{2n}\oplus\Lambda^2(\mathbb{R}^{2n})\), versehen mit der Gruppenmultiplikation \((x,y) (x', y')(x+ x',y+ y'+{1\over 2} x\wedge x')\). Im Fall \(n=1\) ergibt sich gerade die dreidimensionale Heisenberg-Gruppe. Man kann \(\Lambda^2(\mathbb{R}^{2n})\) mit den schiefsymmetrischen \(2n\times 2n\)-Matrizen identifizieren. Dann gibt es auf dem \(\mathbb{R}\)-Vektorraum \(\mathbb{R}^{2n}\oplus \Lambda^2(\mathbb{R}^{2n})\) ein natürliches Skalarprodukt, so dass für \(u\in\text{SO}(2n)\) die Abbildung \((x,y)\mapsto(ux, uyu^{-1})\) zugleich ein Gruppenautomorphismus und eine orthogonale lineare Abbildung ist und somit als Rotationsoperator auf \(F_{2n,n}\) verstanden werden kann. Damit ist auf \(F_{2n,2}\) der Begriff der “radialen” Funktion gegeben. Als stratifizierte Lie-Gruppe besitzt \(F_{2n,n}\) selbstverständlich auch Dilatationen, so dass auf \(F_{2n,2}\) eine Wavelet-Transformation definiert werden kann, die neben den Translationen und Dilatationen auch Rotationen einschließt. Eine Umkehrformel für diese Wavelet-Transformation kann mit Hilfe der Formel von Calderón gewonnen werden. Die Autoren konstruieren auch ein “radiales” Mutter-Wavelet; dadurch wird die Umkehrformel der zugehörigen Wavelet-Transformation von den Rotationsoperatoren unabhängig und vereinfacht sich erheblich.
In [J. Funct. Anal. 96, No. 2, 350–406 (1991; Zbl 0734.43004)] hat R. S. Strichartz auf \(F_{2n,2}\) eine Radon-Transformation eingeführt und Inversionsformeln für diese Radon-Transformation auf der Basis der euklidischen Fourier-Transformation bewiesen. Der Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit ist die Herleitung von Inversionsformeln der Radon-Transformation auf der Basis der operatorwertigen Fourier-Transformation von Funktionen auf der nicht-Abelschen Lie-Gruppe \(F_{2n,2}\). Dabei werden auch die Funktionenräume genauer studiert, auf denen die Inversionsformeln gelten. Hier spielen die Räume vom Semyanistyi-Lizorkin-Typ eine zentrale Rolle; das sind Unterräume des Raums \({\mathcal S}(F_{2n,2})\) der Schwartz-Funktionen auf \(F_{2n,2}\), die durch bestimmte Momentenbedingungen charakterisiert sind. In Anlehnung an die Arbeit [J. Funct. Anal. 262, No. 1, 234–272 (2012; Zbl 1241.43008)] von B. Rubin konstruieren die Autoren einen solchen Raum \({\mathcal S}_*(F_{2n,n})\) und zeigen, dass die Radon-Transformation auf diesem Raum als Isomorphismus wirkt. In Analogie zur Arbeit von Strichartz wird eine Inversionsformel angegeben, in der ein Differentialoperator auftritt, der durch die Pfaffsche Determinante \(\text{Pf}(y)\) der schiefsymmetrischen Matrix \(y\in\Lambda^2(\mathbb{R}^{2n})\) bestimmt ist. Hier wird jedoch auch bewiesen, dass die Inversionsformel für alle \(f\in{\mathcal S}_*(F_{2n,2})\) punktweise gilt. An dieser Stelle sei angemerkt, dass der Referent in einer von den Autoren auch zitierten Arbeit [cf. R. Felix, Invent. Math. 112, No. 2, 413–443 (1993; Zbl 0798.44001)] in Abschnitt 4.2 eine Inversionsformel bewiesen hat, die sogar für alle \(f\in{\mathcal S}(F_{2n,2})\) punktweise gilt.
Schließlich beweisen die Autoren auch noch eine Radon-Inversionsformel unter Verwendung der Umkehrformel für die Wavelet-Transformation; diese gilt auf einem (nicht notwendig nur glatte Funktionen enthaltenden) Unterraum \(L^2_\#(F_{2n,2})\) von \(L^2(F_{2n,2})\) im \(L^2\)-Sinn und für die Funktionen \(f\in{\mathcal S}(F_{2n,2})\cap L^2_\#(F_{2n,2})\) sogar punktweise. Im Fall der dreidimensionalen Heisenberg-Gruppe, also im Fall \(n=1\), erhalten die Autoren eine Inversionsformel, in welcher der auftretende Differentialoperator gerade der Sub-Laplace-Operator auf \(F_{2n,2}\) ist. Im Fall \(n\geq 2\) gilt dies nicht mehr.

MSC:

43A85 Harmonic analysis on homogeneous spaces
44A12 Radon transform
52A38 Length, area, volume and convex sets (aspects of convex geometry)
43A80 Analysis on other specific Lie groups
42C40 Nontrigonometric harmonic analysis involving wavelets and other special systems
22E25 Nilpotent and solvable Lie groups
17B70 Graded Lie (super)algebras
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI