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On formal modular invariants. (English) JFM 56.0125.01

Ist \[ f(x)= \sum A_{\nu_1\nu_2\ldots \nu_n}x_1^{\nu_1}x_2^{\nu_2}\ldots x_n^{\nu_n} \] ein homogenes Polynom des Grades \(m\) mit unbestimmten Koeffizienten \(A\) in den Veränderlichen \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), so nennt man ein Polynom \(F(A)\) in diesen Größen \(A\) mit Koeffizienten aus einem Galoisfeld \(GF(p^r)\) eine formale Modularinvariante des Polynoms \(f(x)\), wenn \(F(A)\) invariant ist gegenüber der Gruppe \(\mathfrak G\) aller Substitutionen \[ x_\kappa ' = \sum \alpha_{\kappa\lambda} x_\lambda\quad (\varkappa, \lambda= 1, 2, \ldots, n) \] mit Koeffizienten \(\alpha_{\kappa\lambda}\) aus \(F(p^r)\), deren Determinante von Null verschieden ist. Zur Aufstellung solcher Modularinvarianten verhilft der folgende Satz:
Es sei \(F_1\) ein homogenes Polynom in den Werten von \(f(x)\), die man erhält, wenn man für die Reihe der Veränderlichen die Wertsysteme \[ (1, 0,\ldots, 0); \;(\varrho_1, 1,\ldots,0); \;(\varrho_1, \varrho_2, 1,\ldots, 0); \;\ldots; \;(\varrho_1, \varrho_2, \ldots, \varrho_{n-1}, 1) \] einsetzt, worin die \(\varrho\) alle Elemente des Galoisfeldes durchlaufen; ferner möge \(F_i\) alle die Konjugierten von \(F_1\) durchlaufen, die man unter den Transformationen der Gruppe \(\mathfrak G\) erhält. Ist dann \[ k=\frac {s(p^r-1)}m \] eine natürliche Zahl (mit passend gewähltem \(s\)), so ist jede symmetrische Funktion der \(F_i\) vom Grade \(k\) erne formale Modularinvariante von \(f(x)\).
Aus diesem Satze lassen sich insbesondere auf einfache Weise die Resultate von W. L.-G. Williams über Modularinvarianten binärer Formen wiedergewinnen (vgl. 1925; F. d. M. 51, 109 (JFM 51.0109.*)).

Citations:

JFM 51.0109.*
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Full Text: EuDML