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Zur topologischen Algebra. I. Komplettierungstheorie. (German) Zbl 0006.00704

Man versteht unter einer \(T\)-Gruppe eine Gruppe, in der ein Umgebungsbegriff derart erklärt ist, daß sie zu einem dem 2. Abzählbarkeitsaxiom genügenden topologischen Raum wird, in dem Multiplikation and Division stetige Operationen sind. \(T\)-Gruppen sind \(L\)-Räume; eine Folge \(x_i\) von Elementen einer \(T\)-Gruppe heißt eine Fundamentalfolge, wenn in jeder Umgebung der \(1\) für fast alle \(i\) alle \(x_ix_{i+h}^{-1}\) liegen. Jede konvergente Folge ist eine Fundamentalfolge; hat umgekehrt jede Fundamentalfolge einen Limes, so heißt die \(T\)-Gruppe komplett. Im kleinen kompakte \(T\)-Gruppen sind komplett and komplette \(T\)-Gruppen in jeder umfassenden \(T\)-Gruppe abgeschlossen. Eine \(T\)-Gruppe läßt sich dann und nur dann in eine komplette \(T\)-Gruppe einbetten, wenn \(y_ix_iy_i^{-1}\) gegen \(1\) konvergiert, falls die Folge \(x_i\) es tut and die Folge \(y_i\) eine Fundamentalfolge ist.
Eine Gruppe heißt metrisch, falls in ihr ein Abstand erklärt ist, der gegenüber den Abbildungen: \(x\mapsto axb\) invariant ist. Eine \(T\)-Gruppe let dann und nur dann auf eine metrische Gruppe zugleich topologisch and isomorph abbildbar, falls \(y_ix_iy_i^{-1}\) gegen \(1\) konvergiert, wenn \(x_i\) gegen \(1\) konvergiert. Diese Bedingung ist z. B. für kommutative und für kompakte \(T\)-Gruppen erfüllt.
Entsprechende Sätze werden für \(T\)-Ringe und für \(T\)-Körper hergeleitet (vgl. die Dissertation des Verf. [Studien über topologische Algebra. (Holländisch) Amsterdam (1931; Zbl 0006.10201)]).

MSC:

22A05 Structure of general topological groups
22C05 Compact groups
12J99 Topological fields
13J20 Global topological rings

Citations:

Zbl 0006.10201
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