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Theorie der konvexen Körper. (German) Zbl 0008.07708
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3, No. 1. Berlin: Julius Springer. vii, 164 S., 8 Fig. (1934).
Die Betrachtung konvexer Gebilde geht bis ins Altertum zurück. Seit vor etwa 100 Jahren J. Steiner die Linearkombination konvexer Körper eingeführt und seit in den 80er Jahren H. Brunn deren Haupteigenschaft erkannt hat, ist hieraus einer der schönsten Zweige der Geometrie entstanden. Lehrbücher über diesen Gegenstand sind 1916 von W. Blaschke [JFM 46.1109.01] und 1929 von T. Bonnesen [JFM 55.0431.08] veröffentlicht worden, während hier die erste enzyklopädische Darstellung mit einer sehr vollständigen Übersicht über die (in neuerer Zeit sehr angeschwollene) Literatur vorliegt. Dabei wird vor allem die Untersuchungsrichtung Brunn-Minkowski gebracht, und zwar mit kurzen Beweisen, während rein differentialgeometrische Fragen nur gestreift werden.
Gekürzte Überschriften der einzelnen Abschnitte: Grundbegriffe, Schwerpunkte, konvexe Hülle, Randpunkte, Stützebenen, konvexe Funktionen, Linearkombination, Approximation konvexer Körper, zugeordnete Zahlen und Figuren, gemischte Volumina, Symmetrisierung, Ungleichungen, Brunn-Minkowskis Satz, Spezialfälle und Anwendungen, Krümmungsfunktion, konvexe Körper mit Mittelpunkt, Körper konstanter Breite, kennzeichnende Eigenschaften von Kegelschnitten und Quadriken, Differentialgeometrie.
Es ist zu hoffen, daß diese übersichtliche Zusammenfassung zu einer raschen Ausfüllung der Lücken in der Brunn-Minkowskischen Theorie und zu weiterer Vereinfachung der Beweise führen wird, wozu insbesondere Bonnesen bereits wertvolle Beiträge geliefert hat.

MSC:
52-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to convex and discrete geometry
52A20 Convex sets in \(n\) dimensions (including convex hypersurfaces)
52A39 Mixed volumes and related topics in convex geometry
52A40 Inequalities and extremum problems involving convexity in convex geometry
52Bxx Polytopes and polyhedra
Keywords:
convex bodies