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Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen. (German) Zbl 0009.01101

Keywords:
group theory
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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Vgl. O. Schreier, ?ber die Erweiterung von Gruppen I, Monatsh. f. Math. u. Phys.34 (1926), S. 165-180, besonders Satz 1, S. 168. · JFM 52.0113.04
[2] Vgl. z. B. R. Brauer: ?ber die algebraische Struktur von Schiefk?rpern, Journ. f. d. reine u. angew. Math.166 (1932), S. 241-252. · Zbl 0004.10003
[3] Es sei auf die folgende Anwendung dieser Folgerung 2 hingewiesen: Sei 380-1 die Poincar?sche Fundamentalgruppe einer geschlossenen, orientierbaren Fl?che vom Geschlecht ? 2, undT die Gruppe aller topologischen Abbildungen dieser Fl?che auf sich. Dann induziert jedes Elementt ausT genau eine Automorphismenklasse X(t) von 381-1. X(t) ist ein Kollektivcharakter vonT in 381-2, und, da das Zentrum von 381-3 allein aus der Identit?t besteht [vgl. J. Nielsen, Acta math.50 (1927), S. 191-358, insbesondere S. 198, wo angegeben ist, da? zwei Elemente aus 381-4 dann und nur dann vertauschbar sind, wenn sie in derselben zyklischen Untergruppe von 381-5 enthalten sind, woraus unsere Behauptung folgt], so gibt es eine und nur eine X(t)-T-Erweiterung 381-6 von 381-7. Diese kann man sich auch als Gruppe aller der topologischen Abbildungen der zugeh?rigen universellen ?berlagerungsfl?che darstellen, bei denen Paare ?quivalenter Punkte in Paare ?quivalenter Punkte ?bergehen [die Gruppe derT-Funktionen vgl. J. Nielsen, a. a. O., Acta math.50 (1927), S. 265]. ? Versteht man unterD die Gruppe der topologischen Deformationen der Fl?che, so ist dann und nur dann X(t 1)=X(t 2), wennt 1?t 1 ?1 inD liegt [vgl. R. Baer, Journ. f. d. reine u. ang. Math.159 (1928), S. 101-116, besonders Satz 3, ? 3];D ist Normalteiler vonT, und jede Automorphismenklasse von 381-8 wird durch Abbildungen ausT induziert [vgl. J. Nielsen, a. a. O., Acta math.50 (1927), S. 266, Satz 11], so da? alsoT/D und die GruppeG der Automorphismenklassen einstufig isomorph aufeinander bezogen sind. Gem?? Folgerung 2 gibt es also auch eine eindeutig bestimmte X-T/D-Erweiterung 381-9 von 381-10, und durch Elemente aus 381-11 wird jeder Automorphismus von 381-12 genau einmal induziert. 381-13 entsteht aus 381-14 gewisserma?en durch Zerlegung nach dem NormalteilerD der Faktorgruppe 381-15. · JFM 53.0545.12
[4] Diese finden z. B. in Schreiers Untersuchungen ?ber Erweiterungen von Gruppen [vgl. Fu?note 1)] und in der Theorie der hyperkomplexen Systeme (vgl. etwa R. Brauer, Math. Zeitschr.28 (1928), S. 677-696;30 (1929), S. 79-107) Anwendung. · JFM 54.0149.01
[5] ; vgl. auch J. Schur, Math. Zeitschr.5 (1919), S. 9, Satz 1. · JFM 52.0113.04
[6] Man pflegt derartige Paare von Faktorensystemen als assoziiert zu bezeichnen. Vgl. R. Brauer, Math. Zeitschr.28 (1928), S. 677-696. · JFM 54.0149.01
[7] Es liegt hier eine Verallgemeinerung der Begriffe: Gruppenpaarung [vgl. etwa W. Threlfall und H. Seifert, Math. Annalen104 (1930), S. 15], meromorphes Produkt [Remak, Journ. f. reine u. angew. Math.163 (1930), S. 6] auf nicht teilerfremde Gruppen vor [vgl. auch J. Schur, ebenda Journ. f. reine u. angew. Math.139 (1911), S. 207]. ?hnlich ist auch das direkte Produkt hyperkomplexer Systeme [vgl. R. Brauer, a. a. O. ?ber die algebraische Struktur von Schiefk?rpern, Journ. f. d. reine u. angew. Math.166 (1932), S. 241-252. Anm. 4)], jedoch m?ssen dort Klassen nicht-isomorpher Systeme (die nur dasselbe Zentrum haben) gebildet werden.
[8] Vgl. N. Tschebotar?v, Zur Gruppentheorie des klassenk?rpers, Journ. f. d. r. u. a. Math.161 (1929), S. 191, Satz 14. ? Siehe ach hier den Satz des ? ?.
[9] Vgl. O. Schreier:, Satz III. · JFM 52.0113.04
[10] Erweiterungen, die in der erweiterten Gruppe nur Isomorphismen, nicht notwendig Automorphismen induzieren, sind bisher wenig untersucht worden; einen Spezialfall behandelt z. B. A. Scholz: Ein Beitrag zur Theorie der Zusammensetzung endlicher Gruppen, Math. Zeitschr.32 (1930), S. 187-189. · JFM 56.0131.02
[11] Im Sinne von H. Pr?fer; vgl. auch R. Baer: Zur Einf?hrung des Scharbegriffs, Journ. f. d. reine u. angew. Math.160 (1929), S. 199-207. Es sei ausdr?cklich darauf hingewiesen, da?, von dem Fall abgesehen, da? in der Charakterschar der Hauptcharakter auftritt, es nicht m?glich ist, diese Schar in nat?rlicher Weise zu einer Gruppe zu machen, ja noch nicht einmal sie als Restklasse nach einer Untergruppe aufzufassen.
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