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Exponential polynomials. (English) Zbl 0009.21202
Verf. gibt eine eingehende Diskussion von vier besonderen Polynomklassen \(A,B,C,D\), die zueinander und zu den Klassen \(H\) und \(A_0\) der Hermiteschen bzw. Appellschen Polynome in folgender Beziehung stehen: \[ H\prec A\prec B\prec C;\quad A_0\prec B,\quad A_0\prec D. \] (\(H\prec A\) bedeutet, daß \(A\) eine Verallgemeinerung von \(H\) ist, usw.)
Die Definition von \(A\) erfolgt durch \[ A_n=A_n(x,t;r=\exp(-xt^r)D_i^n[\exp(xt^r)], \] wobei \(r,n\) ganz, \(r>0\), \(n\geq 0\), \(D_t=d/dt\) ist. Die Funktionen \(\exp(-\tfrac x2 t^{2r})A_n(-x,t;2r)\) bilden in \(-\infty<t<+\infty\) ein Orthgonalsystem.
Zur Definition der Polynome \(B\) sei eine Folge von variablen Größen \(\alpha_0,\alpha_1, \alpha_2,\ldots\) eingeführt. Dann wird \[ B_0=1,\quad B_{n+1}=\sum_{\nu=0}^n \binom {n}{\nu} \alpha_{\nu+1}B_{n-\nu}. \] Es ist nicht schwer, eine explizite Darstellung der \(B_n\) zu finden. Für \(\alpha_j=j!\binom {r}{j} xt^{r-j}\) wird \(B=A_n\).
Die Polynome von \(C\) ergeben sich aus denen von \(B\), indem man \(\alpha_j\) durch \(\sum_{m=0}^\infty \alpha_{j+m}\frac{t^m}{m!}\) ersetzt. Im Falle \(\alpha_{2k-1}=0\), \(\alpha_{2k}>0\) liefern die Funktionen \(\exp\left(\tfrac 12 \sum_{m=1}^\infty \alpha_m\frac{t^m}{m!}\right) C_n\) im Intervalle \(-\infty<t<+\infty\) ein Orthogonalsystem.
Schließlich definiert man die Klasse \(D\) durch die erzeugende Funktion \[ \exp(h^rx)\exp(h\alpha)=\exp(hD)=\sum_{n=0}^\infty \frac{h^n}{n!} D_n, \] \(r\) positiv ganz. Die Beziehungen zu der Klasse \(A_0\) werden genauer erörtert.
Reviewer: G. Szegő

MSC:
33C45 Orthogonal polynomials and functions of hypergeometric type (Jacobi, Laguerre, Hermite, Askey scheme, etc.)
33C65 Appell, Horn and Lauricella functions
Citations:
JFM 60.0295.01
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