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Faithful representation of Lie rings. (Treue Darstellung Liescher Ringe.) (German) Zbl 0016.24401
Unter einer Darstellung \(a\to A\), \(b\to B\) eines Lieschen Ringes \(\mathfrak L\) mit den Operationen \(a + b\) und \(a\bigcirc b\) versteht man eine eineindeutige Abbildung auf Elemente \(A\), \(B\) eines assoziativen Ringes \(\mathfrak A\), wobei \(a + b\) in \(A + B\) und \(a\bigcirc b\) in den Kommutator \(A\bigcirc B = AB - BA\) übergeht.
Zu einem Lieschen Ring \(\mathfrak L\) mit einem Körper \(K\) als Operatorenbereich und der Basis \(u_1, u_2, \ldots\) über \(K\) wird ein Modul \(\mathfrak A\) mit der \(K\)-Basis \((u_{i_1}, u_{i_2}, \ldots, u_{i_n})\), \(n\ge 1\) endlich, \(i_1\le i_2\le \ldots \le i_n\) (auch transfinit) definiert. Mit der Regel
\[(\ldots, u_j, u_k, \ldots) - (\ldots, u_k, u_j, \ldots) = (\ldots, u_j \bigcirc u_k, \ldots)\] werden auch Klammern mit permutierten \(u_i\) eingeführt; die Klammern sollen linear in jeder Komponente sein. Zwei Elemente \((a_1, \ldots, a_m)\) und \((b_1, \ldots, b_n)\) aus \(\mathfrak A\) \((a_i\) und \(b_i\) aus \(\mathfrak L)\) bekommen das (assoziative) Produkt \((a_1, \ldots, a_m, b_1, \ldots, b_n)\). So enthält der Ring \(\mathfrak A\) die eineindeutige Darstellung \(\tau\) von \(\mathfrak L\) und wird von \(\tau(\mathfrak L)\) erzeugt. Andere Darstellungen gehen durch Homomorphismen aus dieser hervor. Durch diese Eigenschaften ist sie eindeutig gekennzeichnet.
Ist \(\mathfrak L\) der freie Liesche Ring \(\mathfrak L_q\) von \(q\) Erzeugenden \(s_i\), so wird \(\mathfrak A\) der freie assoziative Ring \(\mathfrak A_q\) aus \(q\) Erzeugenden \(S_i\). \(\mathfrak L_q\) enthält den Modul \(\Psi_n\) der homogenen Ausdrücke vom Grad \(n\) in den \(s_i\) mit der Dimension
\[ \psi_n= \frac1n \sum_{d\mid n} \mu(d)\cdot q^{\frac{n}{d}}. \]
\(\mathfrak L_q\) hat kein Zentrum.
Im gruppentheoretischen Teil der Arbeit werden die \(q\) Erzeugenden \(\sigma_i\) der freien Gruppe \(\mathfrak G_q\) mit Hilfe der Homomorphie \(\Phi\) auf \(\Phi(\sigma_i) = 1 + S_i\) aus \(\mathfrak A_q\) abgebildet. Für \(g\) aus \(\mathfrak G_q\) wird \(\Phi(g) = 1 + \varphi_1(g) + \varphi_2(g) + \ldots\) , worin die \(\varphi_n(g)\) aus \(\mathfrak A_q\) homogen vom Grad \(n\) in den \(S_i\) sind. Durch rekursive Kommutatorbildung \(\mathfrak G_q^{(1)} = \mathfrak G_q\), \(\mathfrak G_q^{(n)}\) erzeugt von
\[ g_1g_{n-1}g_1^{-1} g_{n-1}^{-1}\quad (g_1\subset\mathfrak G_q,\ g_{n-1}\subset \mathfrak G_q^{(n-1)})\]
kommt man zu den Elementen \(g_n\subset\mathfrak G_q^{(n)}\) mit \(\Phi(g_n) = 1 + \varphi(g_n) + \ldots\). \(\mathfrak G_q^{(n)}/\mathfrak G_q^{(n+1)}\) ist isomorph auf \(\{\varphi(g_n)\}\), die ganze additive Gruppe \(\tau(\Psi_n)\) aus \(\tau(\mathfrak L_q\subset\mathfrak A_q\), abgebildet, ist also frei-abelsch mit \(\psi_n\) Erzeugenden. \(\Phi\) ist überdies eine Isomorphie, die \(\mathfrak G_q^{(n)}\) haben nur den Durchschnitt 1, und \(\mathfrak G_q/\mathfrak G_q^{(n+1)}\) hat das Zentrum \(\mathfrak G_q^{(n)}/\mathfrak G_q^{(n+1)}\).
Reviewer: Landherr (Rostock)

MSC:
17B01 Identities, free Lie (super)algebras
20D99 Abstract finite groups
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Full Text: DOI Crelle EuDML