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An introduction to the theory of numbers. (English) Zbl 0020.29201
Oxford: Clarendon Press. xvi, 403 p. bound: 25/- (1938).
Das Buch will kein systematisches Lehrbuch sein, sondern eine Einführung besonderer Art in die Zahlentheorie, richtiger eine Reihe solcher Einführungen geben. Diese Einführungen sind Führungen vergleichbar, die nach und nach fast alle Teile der Zahlentheorie erschließen. Sie erstrecken sich auf die elementare, die analytische und die additive Zahlentheorie, ferner auf die Geometrie der Zahlen, die Theorie der algebraischen Zahlen und die der diophantischen Approximationen. Es ist selbstverständlich, daß bei einem so weit gespannten Rahmen unter gleichzeitiger Beschränkung auf 400 Seiten Vollständigkeit nicht erstrebt werden kann. So wird z.B. auf die Theorie der quadratischen Formen ganz verzichtet; über die Untersuchungen von Hardy und Littlewood zur partito numerorum und daran anschließende Arbeiten wird nur ergebnisweise in einem Anhang berichtet; der Primzahlsatz und der Dirichletsche Satz von der arithmetischen Progression werden nicht bewiesen. Der Leser wird jedoch mit den letztgenannten Sätzen bereits auf den ersten Seiten des Buches bekannt gemacht und auch sonst bei allen behandelten Problemen nach Möglichkeit bis an die neuesten Ergebnisse herangeführt. Kurze Ergänzungen werden vielfach in den Anhängen gegeben, die jedem Kapitel angefügt sind und die im übrigen wertvolle Hinweise auf die Entwicklung der Probleme und auf die Originalliteratur enthalten.
Die Eigenart des Buches liegt in der unkonventionellen Auswahl und Anordnung des Stoffes, in der Mannigfaltigkeit der behandelten Fragen und in ihrer Verbindung untereinander. Die Verff. hatten die Absicht, vor allen Dingen ein interessantes und ungewöhnliches Buch zu schreiben. Das ist ihnen vollkommen gelungen. In außerordentlich klarer Darstellung wird ein Bild der Zahlentheorie entworfen, dessen Schönheit und Lebendigkeit nicht nur im Stoff selbst, sondern ebensosehr in der persönlichen Gestaltungskraft der Verff. begründet liegt, denen die Entwicklung der Zahlentheorie so viel zu verdanken hat.
Das Buch gliedert sich im einzelnen in die folgenden Kapitel: 1. Primzahlen (1. Teil). 2. Primzahlen (2. Teil). 3. Fareyreihen und ein Satz von Minkowski (über Punktgitter). 4. Irrationalzahlen. 5. Kongruenzen und Reste (Grundbegriffe). 6. Fermatscher Satz und Folgerungen. 7. Allgemeine Eigenschaften der Kongruenzen. 8. Kongruenzen nach zusammengesetzten Moduln. 9. Darstellung von Zahlen in Ziffernsystemen. 10. Kettenbrüche. 11. Approximation von irrationalen Zahlen durch rationale. 12. Der Fundamentalsatz der Zahlentheorie in den Körpern \(k(l)\), \(k(i)\) und \(k(\rho)\). 13. Einige diophantische Gleichungen. 14. Quadratische Zahlkörper (1. Teil). 15. Quadratische Zahlkörper (2. Teil). 16. Die zahlentheoretischen Funktionen \(\varphi(n)\), \(\mu(n)\), \(d(n)\), \(\sigma(n)\), \(r(n)\). 17. Erzeugende Funktionen für zahlentheoretische Funktionen. 18. Die Größenordnung von zahlentheoretischen Funktionen. 19. Partitionen. 20. Darstellung von Zahlen durch zwei oder vier Quadrate. 21. Darstellung durch Kuben und höhere Potenzen. 22. Primzahlen (3. Teil). 23. Kroneckers Approximationssatz. 24. Einige weitere Sätze von Minkowski (über Linearformen).

MSC:
11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
11Axx Elementary number theory
11Hxx Geometry of numbers
11Jxx Diophantine approximation, transcendental number theory
11Mxx Zeta and \(L\)-functions: analytic theory
11Nxx Multiplicative number theory
11Pxx Additive number theory; partitions
11Rxx Algebraic number theory: global fields
Keywords:
Number theory