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Linear operators leaving invariant a cone in a Banach space. (Lineare Operatoren, die einen Kegel in einem Banachschen Raum invariant lassen.) (Russian) Zbl 0030.12902
Nach einem Satz von O. Perron [Math. Ann. 64, 1–76 (1907; JFM 38.0262.01)] besitzt eine nichtsinguläre Matrix \(A\) mit positiven Elementen genau einen Eigenvektor mit positiven Komponenten, und der zugehörige Eigenwert ist positiv. einfach und dem Betrage nach der größte Eigenwert von \(A\). Die geometrische Tatsache, daß die Transformation \(A\) den ,,positiven Hyperoktanten” des Raumes \(R^n\) invariant läßt verschiedene Verallgemeinerungen nahe, die hier durchgeführt werden:
1. Der Hyperoktant wird durch einen konvexen Kegel \(K\) ersetzt, der meist als körperhaft (d. h. innere Punkte besitzend) vorausgesetzt wird.
2. \(R^n\) wird durch einen (im allgemeinen separablen) reellen Banachschen Raum \(E\) ersetzt, der im besonderen ein Funktionenraum oder Hilbertscher Raum sein kann; in dieser Richtung liegen schon Verallgemeinerungen durch Jentzsch, Schauder und andere vor.
Diese Arbeit enthält z. T. neue Ergebnisse, z. T. eine Zusammenfassung aus früheren Arbeiten der Verff.
Zu den Beweisen wird wesentlich der konjugierte Raum \(E^*\), Kegel \(K^*\) und Operator \(A^*\) herangezogen; \(K^*\) besteht aus den linearen Funktionalen \(f\in E^*\) mit \(f(x) \ge 0\) für \(x\in K\).
Die Voraussetzung, daß das Innere \(K_i\) von \(K\) nicht leer ist, läßt sich in \(E\) z. T. dahin abschwächen, daß \(E\) die lineare abgeschlossene Hülle von \(K\) ist (,,\(K\) erzeugt \(E\)”).
Der Kegel K induziert eine Ordnungsbeziehung \(\le\) in \(E\): \(x \le y\), wenn \(y - x\in K\). \(A\) (mit \(AK\subset K\)) erscheint so als ,,monoton”. Existiert im Sinne der Beziehung \(\le\) stets \(\sup(x, y)\), so heißt \(K\) miniedral; im Falle des \(R^n\) ist dann \(K\) ein schiefer Hyperoktant (Satz von Yudin). Mit \(K\) ist auch \(K^*\) miniedral (Satz 2.3).
Ist \(K_i\) nicht leer und \(\Gamma\) eine kommutative Menge von linearen Operatoren \(A\) in \(E\) mit \(AK_i\subset K_i\), so gibt es ein festes \(\psi\in K^*\) mit \(A^* \psi = \lambda\psi\) für alle \(A\in\Gamma\) bei passendem \(\lambda = \lambda_A\) (Satz 3.3). Aus diesem Existenzsatz folgen insbesondere Sätze für reflexive Kegel (d. h. \(K^{**} = K)\) in reflexiven Räumen \((E^{**} = E)\). Ist \(\lambda_0\) der gefundene Eigenwert von \(A\), so liegt das ganze Spektrum von \(A\) im Kreise \(\vert\lambda\vert \le \lambda_0\) (Satz 4.1). Hierzu wird die komplexe Erweiterung \(\tilde E\) von \(E\) benutzt.
Einen interessanten Spezialfall hiervon bilden die Lorentz-Transformationen \(\Gamma\) im Hilbertschen Raum \(\mathfrak H\), die einen (nicht miniedralen) verallgemeinerten Kreiskegel in sich transformieren. Eine indefinite Metrik von \(\mathfrak H\) bleibt invariant bei \(\Gamma\), und \(\Gamma\) induziert in einem in \(\mathfrak H\) als Hyperfläche eingebetteten unendlichdimensionalen Lobachevskiischen Raume eine nichteuklidische Bewegung, und umgekehrt. [Vgl. hierzu L. Pontryagin, Hermitesche Operatoren in Räumen mit indefiniter Metrik. Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 8, 243–280 (1944; Zbl 0061.26004)]. Je nach Lage der Eigenvektoren von \(\Gamma\) zum Kegelmantel wird zwischen hyperbolischen, parabolischen und elliptischen Lorentztransformationen unterschieden. Hierzu einige Verallgemeinerungen. Abgesehen von den erwähnten Fällen werden Existenzsätze nur aufgestellt für vollstetige Operatoren \(A\) (§§6–9). Hier ergibt sich im Falle \(AK\subset K\) ein positiver Eigenwert \(\lambda_0\) mit Eigenvektor \(x\in K\), und für die übrigen Eigenwerte gilt \(\vert\lambda\vert \le \lambda_0\), unter schärferen Voraussetzungen \(\vert\lambda\vert < \lambda_0\) (§7). Als Anwendung werden Sätze über Integralgleichungen aufgestellt.
Ist \(K\) miniedral und \(\lambda_0 = 1\), so sind alle Eigenwerte \(\lambda\) mit \(\vert\lambda\vert = 1\) Einheitswurzeln; von \(A\) läßt sich ein Operator abspalten, der gewisse Kanten von \(K\) permutiert (§8). Dies gilt insbesondere für die ,,stochastischen” Matrizen, die in der Theorie der Markovschen Ketten auftreten, und für die analogen Integralgleichungen mit stochastischem Kern.
In §9 wird die sonst stets vorausgesetzte Linearität von \(A\) ersetzt durch eine schwächere Bedingung, z. B. ,,Homogenität” (d. h.: \(A(\lambda x) = \lambda\cdot Ax\) für \(\lambda > 0\), \(x \in E)\) oder ,,Geradlinigkeit” (d. h.: \(A(\lambda,x) = \varphi(\lambda)\cdot Ax\) mit monotonem \(\varphi(\lambda) = \varphi_x(\lambda > 0\) für \(\lambda > 0)\); auch hier ergeben sich analoge Existenzsätze, wobei anstatt \(AK\subset K\) vorauszusetzen ist: \(A\) monoton (bezüglich \(K\)). Schließlich: Ist \(A\) vollstetig und monoton, \(A \theta = \theta\) \((\theta = \) Nullelement in \(E)\), und gibt es ein \(u\in K\), \(u\ne \theta\), und Zahlen \(c > 0\), \(\varepsilon > 0\) mit \(ctu \le A(tu)\) für \(0\le t\le \varepsilon\), so existiert für jedes \(p > 0\) ein Eigenvektor \(x\in K\) zu \(A\) mit positivem Eigenwert und der Norm \(p\) (Satz 9.5).
Ausführliches Literaturverzeichnis.

MSC:
47Axx General theory of linear operators
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Full Text: MNR