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\(q\)-Bernoulli numbers and polynomials. (English) Zbl 0032.00304

Verf. definiert die \(q\)-Bernoullischen Zahlen \(\beta_m\) durch \(\beta_0=1\), \(\beta_1=-1/(q+1)\) und die symbolische Rekursionsformel \(q(q\beta+1)^m=0\) \((m>1)\), wobei \(\beta^i\) nach Entwicklung durch \(\beta_i\) zu ersetzen ist. Die Zahlen \(\beta_m\) stimmen für \(q=1\) mit den gewöhnlichen Bernoullischen Zahlen überein. Als Verallgemeinerung des Staudt-Clausenschen Satzes wird \(\beta_m=\sum_{k=2}^{m+1} N_{m,k}(q)/F_k(q)\) bewiesen, wobei \(F_k(x)\) das Kreisteilungspolynom vom Index \(k\) und \(N_{m,k}(x)\) ein ebenfalls ganzzahliges Polynom von der Eigenschaft \[ (x-1)^{m-1}N_{m,k}(x)\equiv xF'_k(x)\sum_{1\leq sk\leq m+1} (-1)^{m+1+sk} \binom{m}{sk-1}\pmod{F_k(x)} \] bezeichnet. Außerdem werden manche andere interessante Formen hergeleitet. Insbesondere gibt Verf. auch die entsprechenden Verallgemeinerungen der Bernoullischen Polynome, der Stirlingschen Zahlen zweiter Gattung und der Eulerschen Zahlen an.

MSC:

11B68 Bernoulli and Euler numbers and polynomials
11B73 Bell and Stirling numbers
05A30 \(q\)-calculus and related topics
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