×

On arithmetical properties of Lambert series. (English) Zbl 0032.01701

Der Verf. betrachtet die Lambertschen Reihen \[ f(x)=\sum_{n=1}^\infty {x^n \over 1-x^n}, \quad g(x)=\sum_{n=1}^\infty {x^n \over 1-x^n} \sin {n \pi \over 2}. \] In Verallgemeinerung eines Resultats von Chowla [Proc. Nat. Inst. Sci. India 13, 171-173 (1947)], wonach \(g(1/t)\) für jedes natürliche \(t\geq 5\) irrational ist, beweist er durch das Studium der \(t\)-adischen Entwicklungen und Anwendung elementarer Primzahlverteilungssätze, daß \(f(1/t)\) und \(g(1/t)\) für alle ganzen \(t\neq 0\), \(\pm 1\) irrational sind. Der Beweis wird nur für \[ f\left({1 \over t}\right) = \sum_{n=1}^\infty {d (n) \over l^n} \] im Falle \(t>0\) im einzelnen durchgeführt; für den Fall \(t<0\) werden die nötigen Modifikationen kurz angedeutet. Für \(g(1/t)\) soll sich der Beweis durch Kombination der Chowlaschen Methode mit der des Verf. ergeben.
Reviewer: Hasse (Berlin)

MSC:

11J72 Irrationality; linear independence over a field

Keywords:

Number theory
PDF BibTeX XML Cite