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Left associates of monic matrices, with an application to unilateral matrix equations. (English) Zbl 0032.10204

Es seien \(A_0, A_1, \ldots, A_s\) \((n, n)\)-Matrizen mit Elementen aus einem Körper \(F\), \(A(\lambda) = \sum A_\alpha \lambda^\alpha\), \(k\) eine natürliche Zahl. Wann gibt es eine unimodulare Matrix \(T(\lambda)\) mit Elementen, die ebenfalls in \(F[\lambda]\) liegen, derart, daß \(T(\lambda)A(\lambda) = \lambda^k I + \sum B_\kappa \lambda^\kappa\) wird \((I\) = Einheitsmatrix, \(0\le \kappa\le k-1)\)?
Nimmt man \(A(\lambda)\) in der Normalform an \([a_\mu\nu(\lambda) = 0\) für \(\mu > \nu\), \(\operatorname{Grad} a_\mu\nu(\lambda) < \operatorname{Grad} a_\nu\nu(\lambda)\) für \(\mu < \nu]\), so erweisen sich die folgenden Bedingungen als notwendig und hinreichend:
(1) \(\operatorname{Grad} \prod_{\nu=1}^j a_\nu\nu(\lambda) \le kj\) für \(j = 1, 2,\ldots, n\);
(2) für \(j = n\) steht hierin \(=\);
(3) der Rang der konstanten \((kn, sn)\)-Matrix
\[ \begin{pmatrix} A_s & A_{s-1} & \dots & A_{s-k+1} & \dots & A_1 \\ 0 & A_s & \dots & A_{s-k+2} & \dots & A_2 \\ 0 & 0 & \dots & A_{s-k+3} & \dots & A_3 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & A_s & \dots & A_k \end{pmatrix} \] ist \(kn\).
Der Fall \(k=1\), welcher bei Ingrahams Lösung der einseitigen Matrix-Gleichung \(\sum R_\rho X^\rho = 0\) auftritt [Bull. Am. Math. Soc. 47, 61–70 (1941; Zbl 0025.09801)] wird genauer diskutiert, der Fall eines nicht kommutativen \(F\) unter Verweis auf die Dissertation des Verf. (Univ. of Wisconsin 1940) angedeutet.

MSC:

15A99 Basic linear algebra
15A24 Matrix equations and identities

Citations:

Zbl 0025.09801
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