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Representation by quadratic forms. (English) Zbl 0034.02201

Es sei \(A\) eine \(n\)-reihige und \(B_1\), eine \(k\)-reihige \((1\le k\le n)\) Matrix, beide ganzzahlig, nicht-singulär und symmetrisch, und es sei \(B_1 = T_1' A T_1\) eine primitive Darstellung von \(B_1\) durch \(A\) (wo also die Unterdeterminanten \(k\)-ter Ordnung von \(T_1\) den größten gemeinsamen Teiler \(1\) haben; \(T_1'\) ist die Transponierte der Matrix \(T_1)\). Es werde \(T_1\) durch Hinzufügen von \(n - k\) Spalten (die zusammen die Matrix \(T_2\) bilden mögen) zu einer unimodularen. (Determinante \(=1)\) \(n\)-reihigen quadratischen Matrix \(T = (T_1 T_2)\) ergänzt. Ist \(T_2\) eine solche Ergänzung, so werden sämtliche Ergänzungen \(T_2^*\) dieser Art gegeben durch \(T_2^* = T_1H + T_2U\), wo \(H\) ganz und \(U\) unimodular ist.
Es sei \(B = T' A T\), so daß \(B = \begin{pmatrix} B_1 & K' \\ K & B_2\end{pmatrix}\) mit \(K = T_2' A T_1\), \(B_2 = T_2' A T_2\). Durch „quadratisches Ergänzen“ werde \(B\) auf die Gestalt
\[ P' B P = \begin{pmatrix} B_1 & 0' \\ 0 & b_1^{-1}G\end{pmatrix}\]
transformiert, wo \(0\) eine Nullmatrix mit \(n - k\) Reihen und \(k\) Spalten ist, \(b_1\) die Determinante von \(B_1\) und \(G = b_1B_2 - b_1 K B_1^{-1} K'\). Falls \(T_2\) durch \(T_2^*\) ersetzt wird, so werden \(G\) und \(K\) durch \(U' G U\) und \(U' K + H' B_1\) ersetzt. Sind umgekehrt \(B_1\), \(G\) und \(K\) gegeben, so setze man \(G + b_1 K B_1^{-1} K' = b B_2\), \(B = \begin{pmatrix} B_1 & K' \\ K & B_2\end{pmatrix}\). Falls nun \(A\sim B\) ist, so sei \(T\) eine unimodulare Transformation von \(A\) in \(B\). Ist \(T_1\) die Matrix aus den ersten \(k\) Spalten von \(T\), so erhält man in \(WT_1\) (wo \(W\) die unimodularen Automorphismen von \(A\) durchläuft) eine (zu \(G\), \(K\) gehörige) Schar von primitiven Darstellungen von \(B_1\), durch \(A\). Die Matrizen \(G\) und \(K\) müssen dabei der Kongruenz \(K(b_1B_1^{-1})K' \equiv -G \pmod{b_1}\) genügen. Für \(k= n-1\) reduziert sich diese Matrizen-Kongruenz auf eine einzelne Zahlenkongruenz
\[ \sum_{i,j=1}^n c_{ij}k_ik_j \equiv -a\pmod{b_1},\text{ wo }b_1B_1^{-1} = (c_{ij}),\quad K = (k_1, k_2,\ldots, k_{n-1}) \]
und \(a\) die Determinante von \(A\) ist. Durch das angegebene Verfahren erhält man in diesem Falle sämtliche primitiven Darstellungen von \(B_1\) durch \(A\), indem man zuerst die Lösungen \((k_1, k_2,\ldots, k_{n-1})\) der letzteren Kongruenz bestimmt.
Verf. wendet das Verfahren an auf die Bestimmung der Anzahl aller primitiven Darstellungen einer positiv-definiten, binären, quadratischen Form durch eine Summe von drei Quadraten. Es gelingt ihm dadurch eine Lücke auszufüllen in dem Beweis eines Satzes von Yu. V. Linnik [Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 4, 363–402 (1940; Zbl 0024.25001)] über die Darstellbarkeit von großen Zahlen durch die einzelnen Klassen eines Geschlechts von ternären quadratischen Formen (dieser Satz wurde von Linnik benutzt [Mat. Sb., Nov. Ser. 12(54), 218–224 (1943; Zbl 0063.03579)], um die Darstellbarkeit aller genügend großen ganzen Zahlen als eine Summe von 7 Kuben zu beweisen).

MSC:

11E25 Sums of squares and representations by other particular quadratic forms
11E16 General binary quadratic forms
11E20 General ternary and quaternary quadratic forms; forms of more than two variables
11P05 Waring’s problem and variants
15A04 Linear transformations, semilinear transformations
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