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An elementary proof of the prime-number theorem. (English) Zbl 0036.30604
Es werden ganz neue elementare Beweise für die folgenden grundlegenden Sätze der analytischen Zahlentheorie gegeben:
I: Jede prime Restklasse \(l\bmod k\) enthält unendlich viele Primzahlen (Dirichlet).
II: Die Anzahl \(\pi(x)\) der Primzahlen \(\leq x\) ist asymptotisch \(x/\log x\) (Hadamard, de la Vallée Poussin).
III: Eine prime Restklasse mod \(k\) enthält bis \(x\) asymptotisch \(x/\varphi(k)\log x\) Primzahlen.
Unter Verwendung bekannter elementarer Abschätzungen, wie z.B. \[ \vartheta(x)=\sum_{p\leq x} \log p=O(x),\quad \sum_{p\leq x}p^{-1} \log p=\log x +O(1), \] wird die im Mittelpunkt der Betrachtungen stehende neue Abschätzung hergeleitet:
\[ \sum_{p\leq x} \log^2 p+\sum_{pq\leq x} \log p\log q=2x\log x+O(x), \] die dann durch mehrfache Anwendung partieller Summation umgeformt wird in
\[ |\vartheta(x)-x|=| R(x)|\leq \frac 1{\log x}\sum_{n\leq x} \Bigl| R\Bigl(\frac xn\Bigr)\Bigr|+O\Bigl(\frac{x\log \log x}{\log x}\Bigr). \]
Hieraus wird geschlossen: Für beliebiges \(x>e^{K_1/\delta}\) enthält das Intervall \((x,e^{K_1/\delta}x)\) stets ein Teilintervall \((y,e^{\delta y}\), in welchem \(| R(z)<\delta z\) liegt. Beide Abschätzungen von \(R(x)\) ergeben nun zusammen ein Iterationsverfahren, das mit der Feststellung \(R(x)=o(x)\) endet. Das ist bereits im wesentlichen der Primzahlsatz II.
Ein modifizierter Beweis ergibt das analoge Resultat für eine prime Restklasse mod \(k\). Dabei wird der Fall reeller Charaktere in Anlehnung an Dirichlet behandelt. Durch eine besondere Methode gelingt es, die sonst üblichen komplexen Charaktere als ,,less elementary” ganz zu vermeiden.
Der hier vorkommende Begriff ,,elementar” ist so zu verstehen: Benutzt werden nur rationale Funktionen, abgesehen von \(e^x\) und \(\log x\) für reelle Zahlen (im klassischen Weierstraßschen Sinn).
Den Begriff ,,elementar” kann man auch in ganz anderer Weise so auslegen, daß eine Aussage finit (konstruktiv) bewiesen werden soll. Wie L. E. J. Brouwer gezeigt hat, muß man dann auf das Axiom ,,tertium non datur” der formalistischen Logik verzichten. Referent hat selbst vor einiger Zeit nachgeprüft, daß man alle bisherigen Beweise für den Primzahlsatz (bzw. Primidealsatz) auf einfache Weise in diesem Sinn modifizieren kann, wie dies im Falle I schon Mertens und Kronecker getan haben (neuerdings auch Zassenhaus).
Dies ist ein gemeinsames Referat für die drei Arbeiten (vgl. Zbl 0036.30603 und Zbl 0036.30605).

MSC:
11N05 Distribution of primes
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