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The theory of valuations. (English) Zbl 0037.30702

Mathematical Surveys. 4. New York: American Mathematical Society (AMS). 253 p. (1950).
Das vorliegende Buch bringt eine ausführliche Theorie der nicht-archimedischen Bewertungen und einiger Anwendungen und gliedert sich in die folgenden Kapitel.
Kap. 1, General properties of valuations, bringt Grundtatsachen der Bewertungstheorie, und zwar gleich für Schiefkörper und beliebige (nicht notwendig archimedisch) geordnete Wertgruppen; außerdem die Charakterisierung der Bewertungsringe und ihrer Durchschnitte als ganz abgeschlossene Ringe.
Kap. 2, Complete fields, beschäftigt sich mit der Vervollständigung von Körpern, dem Henselschen Lemma und der Fortsetzung von Bewertungen.
Kap. 3, The ramification theory of valuations, ist die Verallgemeinerung der Hilbertschen Verzweigungstheorie auf bewertete Körper.
Kap. 4, Special ideal theory, bringt den Zusammenhang zwischen Ideal- und Bewertungstheorie.
In Kap. 5, Arithmetic of simple algebras, wird die Idealtheorie einfacher Algebren entwickelt, und zwar zunächst lokal und dann im Großen; außerdem wird die Struktur der Algebrenklassengruppe über einem perfekt bewerteten Körper untersucht.
Kap. 6, Local class field theory, bringt die lokale Klassenkörpertheorie für endliche und unendliche Erweiterungen, und zwar auf Grund der Algebrentheorie.
Kap. 7, The structure of complete fields, enthält erstens die Aufstellung aller lokal kompakten unzusammenhängenden Körper und zweitens Strukturaussagen über eine große Klasse perfekt bewerteter Körper,
Zwei Anhänge bringen die Ergebnisse der Galoisschen Theorie unendlicher Erweiterungen und der Algebrentheorie.
Das Buch ist nach dem Grundsatz größtmöglicher Allgemeinheit geschrieben und berücksichtigt die neueste Literatur. Eine Reihe von Untersuchungen findet sich hier zum ersten Male in einer zusammenfassenden Darstellung, so z. B. die von I. Kaplansky [Duke math. J. 9, 303–321 (1942), 12, 243–248 (1945); Zbl 0061.05506] über die maximal-vollständigen Körper mit beliebiger Wertgruppe im Kap. 7; dort vermißt man allerdings neben diesen allgemeinen Ergebnissen die explizite Konstruktion der \(p\)-adischen Körper mit Hilfe der Wittschen Vektoren.
Störend macht sich das Fehlen eines Sachverzeichnisses bemerkbar – das Verzeichnis am Schluß enthält nur die als bekannt vorausgesetzten Begriffe, aber nicht die neu definierten; außerdem kommen einige (reparable) Fehler vor (z. B. S. 126, Beweis des Lemma 2; S. 160, Lemma 4).

MSC:

12J20 General valuation theory for fields
12-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to field theory
12Jxx Topological fields
11S31 Class field theory; \(p\)-adic formal groups
13-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to commutative algebra

Citations:

Zbl 0061.05506