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On the differentiability and the representation of one-parameter semi-group of linear operators. (English) Zbl 0037.35302

Soit \(t\to U_t\) une représentation continue bornée \((\|U_t\|\leq 1)\) du semi-groupe additif des nombres réels positifs dans l’algèbre (munie de la topologie de convergence simple) des opérateurs linéaires continus d’un espace de Banach complexe \(E\). L’A. montre que le sous-espace vectoriel \(D\) de \(E\) sur lequel existe la dérivée faible \(Ax=\underset {h\downarrow 0} {\text{lim.faible}}\, h^{-1}(U_h-1)x\) est dense dans \(E\), que \(x\to Ax\) est un opérateur fermé et que \(h^{-1}(U_{s+h}-U_s)x\) converge dans de plus fortement quand \(h\downarrow 0\) vers \(AU_sx=U_sAx\). En introduisant les intégrales \(\int_0^\infty \delta e^{-\delta s}x\,ds\) qui représentent des éléments de \(D\) et qui convergent fortement vers \(x\) quand \(\delta\to\infty\), l’A. montre que, si \(I\) est l’opérateur unité, les opérateurs \(A-nI\) \((n>0)\) sont inversibles et que si \(B_n= n(A-nI)^{-1}\) alors \(\|B_n\|\leq 1\) et \(-n(I+nB_n)\) converge simplement vers \(A\) sur \(D\) quand \(n\to\infty\). Réciproquement si \(A\) est un opérateur défini sur un sous-espace dense de \(E\), pour lequel les \(B_n\) existent et satisfont aux propriétés précédentes alors \(A\) est dérivée d’un semi-groupe \(t\to U_t\). Application: théorème de Stone (\(E\) espace de Hilbert, \(U_t\) unitaire).
Reviewer: J. Riss (Saigon)

MSC:

47D06 One-parameter semigroups and linear evolution equations
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