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On the statistical reversibility of Brownian motion. (Über die statistische Umkehrbarkeit der Brownschen Bewegung.) (Russian) Zbl 0041.25301
Ausgegangen wird von der Fokker-Planck-Gleicbung (F.P.-Gl.) für die Brownsche Bewegung (B. B.) als Markov-Prozeß im Phasenraum [s. z. B. G. E. Uhlenbeck und L. S. Ornstein, Phys. Rev. 36, 828–841 (1930); Kolmogorov, Ann. Math. (2) 35, 116–117 (1934; Zbl. 8, 399)]. Die F.P.-Gl. wird mit Einführung der kovarianten Ableitung (etwa einer Invariante):
\[ \nabla_i^{(x)} = \partial/\partial x^i - \Gamma_{ni}^m \dot x^n\, \partial/\partial \dot x^m \]
kovariant geschrieben und lautet dann:
\[ \partial\varphi/\partial t = \dot x^i \nabla_i^{(x)} \varphi + K^i \partial\varphi/\partial \dot x^i + B^{ij} \partial^2/\partial \dot x_i \partial \dot x^j \]
(und die entsprechende adjungierte). \(\varphi(t, x, \dot x, y, \dot y)\) ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte (Übergangswahrscheinlichkeit) für \(t > 0\) bei einem Übergang des Systems aus (dem Phasenpunkt) \((x, \dot x)\) \((2n\)-dimensional!) in die Umgebung von \((y, \dot y)\).
\[ K^i (x, \dot x) = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\overline{\Delta\dot x^i}}{\Delta t} + \Gamma_{jk}^i \dot x^j\dot x^k,\quad B^{ik} = \lim \frac{\overline{\Delta x^i \Delta\dot x^j}}{2\Delta t} \vert B^{ik}\vert \not \equiv 0. \]
Mit Hilfe der Gleichung für die Rückschlußwahrscheinlichkeit (Bayes) läßt sich die statistische Umkehrbarkeit definieren. Betrachtet wird zunachst ein Riemannscher Raum (die Metrik bestimmt sich aus der kinetischen Energie des Systems); aber die folgenden Sätze sind von dieser Einschränkung weitgehend unabhängig, bei Vorgabe der Komponenten \(\Gamma_{ik}^l\) des affinen Zusammenhangs läßt sich schon eine Verteilungsdichte definieren. Ist \(K\) nur Linearform der Geschwindigkeiten und \(B\) unabhängig von den Geschwindigkeiten, dann ist die B. B. dann und nur dann statistisch umkehrbar, wenn 1. der durch B\(B^{ij}P_{jk} = \partial K^i/\partial \dot x^k = 0\) definierte Tensor \(P\) symmetrisch und seine kovariante Ableitung \(= 0\) ist, 2. die Form \(P_{ik} \dot x^i\dot x^k\) positiv definit, 3. \(P_{ij}\left(K^ + \frac{\partial K^i}{\partial \dot x^k} \dot x^k\right)\) ein Potentialvektor ist.
Verf. zeigt, daß diese Bedingungen im wesentlichen damit äquivalent sind, daß die stationäre Verteilungsfunktion die kanonische Form von Gibbs hat. Der Übergang der F.P.-Gl. in den Konfigurationsraum ergibt einigen Aufschluß über den Dissipationstensor (betreffend seine Symmetrieeigenschaft). (Eine deutsche Übersetzung erscheint in „Abhandlungen aus der sowjetischen Physik“ Folge III, Verlag Kultur und Fortschritt, Berlin (1952).
Reviewer: Detlof Lyons

MSC:
60J65 Brownian motion
82C31 Stochastic methods (Fokker-Planck, Langevin, etc.) applied to problems in time-dependent statistical mechanics
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Full Text: MNR